外推法的謬誤：費馬素數案例

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

抱歉，皮埃爾，並非所有費馬數都是素數。圖片：公共領域，來自維基共享資源。

塞繆爾·阿貝斯曼最近撰寫了關於不正確的數學猜想的文章。我想補充一個我最喜歡的例子，它是在幾周前我的數學史課上出現的。與阿貝斯曼寫到的那些僅對非常大的數字才失效的反例猜想不同，這個猜想在數字5時就失效了。

皮埃爾·德·費馬是一位業餘數論學家，他現在最著名（或者說臭名昭著）的是他在頁邊空白處潦草寫下的一段註釋，這段註釋引發了長達400年的探索，以證明被稱為費馬最後定理的理論。

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然而，費馬關於素數的猜想解決得更快，不到一個世紀就解決了。費馬注意到 2²¹+1（等於 5）是素數，2²²+1（即 17）是素數，更一般地說，當 n=0,1,2,3 或 4 時，2²ⁿ+1 是素數。形如 F_n=2²ⁿ+1 的數字現在稱為費馬數*，當它們是素數時，稱為費馬素數。費馬猜想所有費馬數都是素數。（與費馬最後定理不同，他從未聲稱擁有這個猜想的證明。）

1732年，在費馬去世約70年後，萊昂哈德·尤拉將第5個費馬數分解為 641×6,700,417，推翻了費馬的猜想。費馬的猜想不僅失敗了，而且敗得一塌糊塗。到目前為止，唯一已知的費馬素數是費馬已知的那些。費馬數增長非常快，因此即使使用現代計算能力，分解它們也很困難。從 F₅ 到 F₃₂ 的每個費馬數已知都是合數，許多其他的費馬數，包括最近的 F_3,329,780，也已知是合數，儘管我們仍然不知道其他一些費馬數的狀態，例如 F₃₃。（公平地說，對於正在處理它的計算機來說，F₃₃大約有26億位數字。）

也許有一天會發現一個新的、巨大的費馬素數，而某些人認為所有大於 F₄ 的費馬數都是合數的猜想將被駁斥。迴圈將得以完成。

*這句話在發表後經過編輯，以更正費馬數的定義。