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我對雙曲幾何情有獨鍾，這已經不是什麼秘密了。我可以，而且有時也確實會花上幾個小時來思考雙曲平面中漂亮的形狀。所以，當我發現一個工具，可以讓你把你自己的照片變成漂亮的雙曲形狀時，我花了不少時間在上面。這個工具是由 Malin Christersson 建立的，她的網站上也有很多關於非歐幾里得幾何的頁面。如果您想在閱讀本文的其餘部分之前瞭解更多關於雙曲平面的資訊，請檢視它們。
歐幾里得平面（或者你的地板或浴室牆壁）可以用等邊三角形、正方形或六邊形進行鋪砌。這些形狀完美地組合在一起，覆蓋整個平面而不會重疊，而且這些是唯一可以做到這一點的正規形狀。（許多不規則形狀也可以，包括一種全新的五邊形，它在數學愛好者中引起了轟動。）
歐幾里得平面用等邊三角形鋪砌的鑲嵌圖。圖片來源：R. A. Nonemacher，來自維基共享資源。
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當我們鋪砌雙曲平面時，我們比在有限的歐幾里得世界中擁有更多的自由。我們可以用等邊三角形、四邊形、五邊形、六邊形等等來鋪砌它。不僅如此，我們可以用每種形狀進行無限多種方式的鋪砌。在歐幾里得空間中，角度比在雙曲空間中受到更多的限制。所有歐幾里得三角形的內角和為 180 度，而在雙曲空間中，三角形的內角和可以小於 180 度。在歐幾里得空間中，等邊三角形的角為 60 度，因此將它們在平面中組合在一起的唯一方法是將六個三角形圍繞一個點放置。另一方面，在雙曲空間中，一些等邊三角形圍繞一個點可以放置七個，一些八個，一些 50 個，甚至有些無限多個圍繞每個頂點。
Christersson 並沒有提供無限數量的鑲嵌，但您會發現有很多可以玩的。雙曲鑲嵌通常根據使用的形狀型別以及每個頂點周圍有多少個形狀來標記，因此 4,6 鑲嵌表示每個頂點周圍有六個四邊形，而 6,4 鑲嵌表示每個頂點周圍有四個六邊形。在鑲嵌工具上，數字p代表多邊形的型別，數字q代表應該圍繞一個頂點的多邊形數量。
這些鑲嵌都基於雙曲平面的龐加萊圓盤模型，Christersson 提供了一些關於雙曲平面和她提供的一些選項的資訊。當您玩耍時，看看您是否可以僅根據最終影像來識別圖片使用了哪種型別的鑲嵌。您能分辨出您是用三角形還是六邊形來鑲嵌它嗎？每個頂點周圍有多少個形狀？您能弄清楚為什麼不允許某些 p 和 q 的組合嗎？
如果您正在嘗試決定使用什麼圖片，M. C. 埃舍爾的圓極限繪畫，其精神與此類似，但卻是手工製作而不是在計算機上生成的，以天使、魔鬼、蜥蜴和魚為特色，但經驗證據表明數學家也成為了有吸引力的主題。