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在本期《我最喜歡的定理》節目中，凱文·克努森和我很榮幸與艾米莉·戴維·勞倫斯交談。她是舊金山大學的數學教授，研究低維拓撲學。你可以在這裡或在kpknudson.com收聽，那裡也有本期節目的文字稿。
對於她最喜歡的定理，勞倫斯博士選擇了緊曲面分類，這是拓撲學入門課程中最棒的定理之一。分類定理指出，所有滿足一些溫和要求的曲面都拓撲等價於球面、環面之和或射影平面之和。（碰巧的是，我之前寫過關於環面的文章，一篇關於射影平面的文章也即將釋出。這是一種令人愉悅的不可定向曲面，就像更強烈的莫比烏斯帶。）拓撲等價允許很大的自由度。只要你可以將一個形狀變形為另一個形狀，而無需刺穿或粘合任何東西，這兩個形狀就是拓撲等價的。
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緊曲面分類定理指出，就拓撲學而言，環面和射影平面構成除球面以外的所有其他曲面的構建塊，球面只是孤立存在。如果您想知道取兩個曲面的和是什麼意思，這非常直觀。你只需在每個曲面上切一個小孔，然後沿著孔將兩個曲面縫合在一起。
兩個曲面連通和過程的圖示。鳴謝：Oleg Alexandrov Wikimedia (CC BY-SA 3.0)
如果你聽過《我最喜歡的定理》第 0 集，勞倫斯博士最喜歡的定理聽起來可能很熟悉。它與我個人最喜歡的定理，一致化定理密切相關。它們適用於略有不同的曲面型別。曲面分類定理適用於任何沒有任何穿孔的二維曲面，而一致化定理僅適用於稱為黎曼曲面的曲面。最重要的區別在於黎曼曲面必須是可定向的，因此一致化定理不適用於射影平面之和，而曲面分類定理對此沒有問題。一致化定理不是按拓撲結構對曲面進行分類，而是說可定向曲面可以有三種不同的幾何型別。它可以與曲面分類定理結合，表明每個可定向曲面都有一個自然的幾何結構。像沙灘球這樣沒有孔洞的曲面，自然具有球面或橢圓幾何。有一個孔洞的曲面自然具有平面幾何，而有多個孔洞的曲面自然具有雙曲幾何。
雙曲幾何、歐幾里得幾何和橢圓（或球面）幾何的圖示。在雙曲幾何中，平行線彼此遠離。在歐幾里得幾何中，它們保持相同的距離。在橢圓幾何中，沒有不相交的線。鳴謝： Pbroks13 和 Joshuabowman Wikimedia (CC BY-SA 3.0)
勞倫斯博士決定用一個經典的配對來解釋她的定理：甜甜圈和一杯咖啡。這指的是一個經典的數學笑話：拓撲學家是那種無法區分甜甜圈和一杯咖啡的人，因為當您拉伸或擠壓表面時，它們是等價的，兩者都有一個孔。
馬克杯和甜甜圈拓撲等價性的演示。鳴謝：Lucas V. Barbosa Wikimedia
您可以在kpknudson.com和Roots of Unity找到更多關於本播客中介紹的數學家和定理的資訊，以及其他令人愉悅的數學趣味內容。文字稿在此處可用。您可以在 iTunes 和其他播客分發系統上訂閱和評論播客。我們很樂意聽到聽眾的來信，所以請傳送郵件至 myfavoritetheorem@gmail.com。凱文·克努森的 Twitter 賬號是 @niveknosdunk，我的賬號是 @evelynjlamb。該節目本身也有一個 Twitter 賬號：@myfavethm 和一個 Facebook 頁面。下次加入我們，學習另一個引人入勝的數學知識。
《我最喜歡的定理》節目回顧