本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
您可能已經看過關於一塊古代美索不達米亞泥板的頭條新聞。《衛報》稱：“近一個世紀的研究後，古代泥板的數學秘密被揭開”。《大眾科學》補充說：“這塊神秘的古代泥板可以教給我們一兩件關於數學的事情”，“一些研究人員說巴比倫人發明了三角學——而且做得更好。” 《國家地理》則較為謹慎：“一項新的研究聲稱該泥板可能是對三角學研究最古老的貢獻之一，但有些人仍然持懷疑態度。” 丹尼爾·曼斯菲爾德和諾曼·懷爾德伯格無疑很好地推銷了他們在通常更為穩重的期刊《數學史》（Historia Mathematica）上發表的新論文。我想幫助大家區分關於這篇新論文的事實、推測和完全的無稽之談。
什麼是普林頓 322 號泥板？
普林頓 322 號泥板，即有爭議的這塊泥板，無疑是一件引人入勝的文物。它是一塊破碎的粘土片，大約明信片大小。大約在公元前 1800 年，它在古代城市拉爾薩（今伊拉克境內）被刻滿了四列楔形文字數字，並在 20 世紀 20 年代被移走。喬治·普林頓於 1922 年購買了它，並遺贈給了哥倫比亞大學，哥倫比亞大學自 1936 年以來一直擁有它。從那時起，許多學者研究了普林頓 322 號泥板，因此，您可能想象的曼斯菲爾德和懷爾德伯格在炎熱、塵土飛揚的考古遺址中手膝並用，甚至在發黴、被忽視的檔案中翻箱倒櫃，挖掘出這件寶藏的畫面是不準確的。我們幾十年來就已瞭解這件文物以及其上的內容。研究人員聲稱對該文物的使用方式有了新的解釋，但我對此持懷疑態度。
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自 20 世紀 40 年代以來，學者們就知道普林頓 322 號泥板包含勾股陣列中的數字，即方程 a2+b2=c2 的整數解。例如，3-4-5 是一個勾股陣列，因為 32+42=9+16=25=52。今年的 8 月 15 日被一些人慶祝為“勾股陣列日”，因為 8-15-17 是另一個，稍微性感的勾股陣列。
最右邊一列由數字 1 到 15 組成，所以它只是一個列舉。普林頓 322 號泥板的中間兩列包含勾股三角形的一條邊和斜邊，或者說是方程 a2+b2=c2 中的 a 和 c。（請注意，a 和 b 是可以互換的。）但這些比你在學校學到的勾股陣列要複雜一些。第一個條目是 119 和 169，對應於勾股陣列 1192+1202=1692。最左邊一列是三角形邊長的平方比率。具體是哪些邊取決於文物左側缺失碎片中包含的內容，但這並沒有太大的區別。要麼是斜邊平方除以剩餘邊的平方，要麼是一條邊平方除以另一條邊的平方。用現代數學術語來說，這些是三角形中某個角的正切或正割的平方。
我們可以將其中一列解釋為包含三角函式，因此在某種意義上，它是一個三角函式表。但儘管頭條新聞會讓你相信什麼，人們幾十年來都知道這一點。謎團在於該泥板在當時的用途是什麼。它為何被創造出來？為什麼表中包含這些特定的三角形？這些列是如何計算出來的？在 1980 年一篇題為“巴比倫的夏洛克·福爾摩斯”的論文中，R·克雷頓·巴克暗示，透過數學和敏銳的觀察，人們可以推斷出泥板的含義，並提出了他認為適合資料的解釋。但埃莉諾·羅布森在“既不是夏洛克·福爾摩斯也不是巴比倫”中寫道，“如果我們想充分理解古代數學文字和文物，就必須從其數學-歷史背景來看待它們，而不是將它們視為偵探小說風格的人為的、自成一體的創作。” 主要透過我們對現代數學的理解來看待古代文物是傲慢的，並且可能會導致不正確的結論。
它是做什麼用的？
關於普林頓 322 號泥板是如何被創造出來以及被製造它的人使用的，有幾種理論。曼斯菲爾德和懷爾德伯格並不是第一個認為它是一種三角函式表的人。另一方面，有些人認為它將勾股定理（古代美索不達米亞人和許多其他文明在畢達哥拉斯之前很久就已知的定理）與配方法聯絡起來，以解決二次方程，這是當時當地數學文字中常見的問題。有些人認為這些陣列是透過使用未包含在表中的不同數字以“數論”方式生成的。有些人認為這些數字來自用於乘法的所謂倒數對。有些人認為該泥板是一種教學工具，也許是學生練習的來源。有些人認為它被用於更像原始數學研究的東西。關於這些解釋的學術但易於理解的資訊可以在1980 年巴克、2001 年和2002 年的羅布森以及2011 年約翰·P·布里頓、克里斯汀·普魯斯特和史蒂夫·施尼德的文章中找到。
如果它是一個三角函式表，它比現代三角函式表更好嗎？
曼斯菲爾德和懷爾德伯格對普林頓 322 號泥板的學術貢獻似乎是推測該文物可以用來以比我們現在更精確的方式進行三角運算。在 UNSW 製作的宣傳影片中，該影片一定是隨附於傳送給許多數學和科學記者的新聞稿（但沒有傳送給我——UNSW，這是怎麼回事？），曼斯菲爾德聲稱該表“在某些方面優於現代三角學”，並且是“唯一完全精確的三角函式表”。
很難知道從哪裡開始反駁他們提出的這部分主張。首先，該泥板包含一些眾所周知的錯誤，因此聲稱它是有史以來最準確或最精確的三角函式表是不真實的。但即使是普林頓 322 號泥板的更正版本也不會徹底取代現代三角函式表。
如果您像我一樣，不是從小使用三角函式表長大的，那麼當您沒有一臺可以在瞬間以 10 位精度進行計算的計算機時，三角函式表是非常棒的工具。三角函式表將包含正弦、餘弦、正切以及可能的其他角度三角函式的列。某個人或一群人會手工完成這些艱苦的計算，然後當計算中出現例如 cos(24°) 時，您就可以直接查詢該值。今天，計算機通常使用三角函式公式，而不是呼叫所有值的列表，而且人類根本不需要知道太多值。這些公式基於微積分，並且可以根據需要精確。需要 50 位數的正確答案？您的計算機可以做到，可能很快就能完成。
如果您記住了“soh cah toa”或關於“some old hippie”的助記符，您可能會記得基本的三角函式是三角形邊長的比率。一個角的正弦是對邊除以斜邊，餘弦是鄰邊除以斜邊，正切是對邊除以鄰邊。大多數角的三角函式值不是有理數。它們不能寫成兩個整數的比率，因此您在三角函式表中找到的條目會在小數點後截斷一些位數。曼斯菲爾德和懷爾德伯格似乎專注於這樣一個觀察結果：當直角三角形的邊長都是整數時，這些比率都是有理數。普林頓 322 號泥板是一個“精確的”三角函式表，因為它只包含基於具有整數邊長的三角形的三角函式。（事實上，該表的建立者將其設定為所有分數的分母都易於以 60 為基數表示。）
現代三角函式表基於以穩定速率增加的角度。它們可能會給出 1°、2°、3° 等，或 0.1°、0.2°、0.3° 等，甚至更精細的角度梯度的正弦值。由於像其他古代美索不達米亞人一樣，製作普林頓 322 號泥板的人們從邊長而不是角度的角度來思考三角形，因此角度不會穩定變化。這就是將其視為三角函式表與現代三角函式表之間的區別。兩種方式都不是天生優越的。如果我們想製作角度只有有理三角函式的現代三角函式表，我們可以做到，但這不會使計算的精度顯著提高。無論哪種方式，我們都可以獲得任何特定應用所需的精度。
稍微挖掘一下就會發現，懷爾德伯格有一個稱為“有理三角學”的個人想法。他似乎對涉及無窮大的事物持懷疑態度，包括具有無限、不迴圈小數表示的無理數。從粗略閱讀他撰寫的關於有理三角學的一章來看，我沒有看到該理論有任何明顯的錯誤，但它似乎是針對一個不存在的問題的解決方案。大多數角的正弦、餘弦和正切是無理數這一事實並沒有困擾絕大多數使用三角學的數學家、物理學家、工程師和其他人。很難不將他們對普林頓 322 號泥板的研究視為受一種渴望合法化一種在數學界幾乎沒有吸引力的方法的願望所驅動。
60 進位制比 10 進位制更好嗎？
不同型別三角函式表的實用性可能是一個見仁見智的問題，但 UNSW 的影片也有一些關於 60 進位制相對於我們現在使用的 10 進位制系統的準確性的徹頭徹尾的謊言。大約在 1:10 處，曼斯菲爾德說：“我們以 10 進位制計數，它只有兩個精確的分數：1/2，即 0.5，和 1/5。” 我的第一個異議是任何分數都是精確的。數字 1/3 正好是 1/3。曼斯菲爾德明確表示，他所說的 1/3 不是精確分數是指它有一個無限的（0.333…）而不是終止的小數。但是 1/4 呢？那是 0.25，它是終止的，但曼斯菲爾德並不認為它是精確的分數。那麼 1/10 或 2/5 呢？這些可以寫成 0.1 和 0.4，這看起來非常精確。
令人難以辯駁的是，當他讚揚 60 進制中可用的許多“精確分數”時，他並沒有應用相同的標準。在 60 進制中，1/8 將被寫成 7/60+30/3600，這與在 10 進制中將 1/4 寫成 0.25 或 2/10+5/100 的想法相同。為什麼 1/8 在 60 進制中是精確的，而 1/4 在 10 進制中不是精確的？很難相信這是一個數學家犯下的誠實錯誤，反而讓我更加懷疑他的工作是受某種議程驅動的。
普林頓 322 號泥板是一件非凡的文物，我們有很多東西可以從中學習。當我教數學史時，我喜歡在學期開始時讓我的學生閱讀一些關於它的論文，以展示有多少學術研究致力於理解這樣一份小檔案，以及成就卓著的學者們可能對它的含義存在分歧。它展示了不同文化進行數學運算的方式以及出色的計算能力的差異。它提出了關於古代美索不達米亞人如何進行計算和幾何學研究的問題。但用它來推銷一種有問題的個人理論不會讓我們更接近答案。