本文發表在《大眾科學》的前部落格網路中，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
背誦圓周率數字的比賽是一個非常常見的圓周率日活動。而今年恰逢百年一遇的月份/日期/年份與圓周率的前幾位小數數字相吻合，我們可能會遇到比平時更多的這類活動。我們有10根手指，這使得十進位制數字成為自然的選擇，但如果我們是水豚或者辛普森一家，我們可能會使用8進位制。如果我們是古代美索不達米亞人，我們會使用60進位制。記憶任何這些進位制下的數字都有點隨意。圓周率的十進位制、八進位制和六十進位制數字並不能捕捉到圓周率的真正本質。為什麼不舉辦一個既有背誦十進位制數字的樂趣，又沒有任意進位制依賴的比賽呢？沒錯，今年你需要舉辦一個連分數背誦比賽！
“聽起來不錯，”我似乎聽到你在說，“但那是什麼意思？”很高興你問了！幾年前，我寫了一篇關於連分數的部落格，這是表示數字最浪漫的方式。正如我當時寫的那樣，連分數就像分數，但更進一步。它不是在分子和分母中各有一個數字就停止了，而是分母中也有一個分數。而那個分數的分母中也有一個分數，以此類推。
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為了標準化連分數，我們要求每個分子都為 1，每個分母都為正數。（我們也允許自己在連分數的前面新增一個任意的正或負整數，這樣我們就可以表示不在 0 和 1 之間的數字。）
有了這些限制，每個數字都有一個（基本上）唯一的連分數表示形式。如果這個數字是有理數，那麼連分數最終會終止。如果它是無理數，那麼連分數就會無限繼續下去。
雖然我們使用十進位制記數法來書寫連分數的分母，但連分數不依賴於進位制。12 這個數字，無論我們把它寫成 10 進位制的 12、2 進位制的 1100 還是 16 進位制的 C，都是相同的數字。所以，如果 12 出現在連分數的分母中，那麼用什麼進位制來寫它都無關緊要。一個數字的連分數表示形式，無論我們使用什麼進位制，其中的數字都相同，可能只是寫法不同而已。
一個數字 x 的連分數展開式告訴我們哪些有理數或分數是對 x 的最佳近似值。當我們在一定數量的項之後截斷連分數時，我們得到所謂的 x 的收斂項。如果收斂項的分母為 n，則表示沒有比 n 小的分母更接近 x 的數字。收斂項在更強的意義上是最佳近似值，但那是另一個話題。總之，可以說收斂項是最佳近似值中的最佳值，是近似值中的精華。
舉一個具體的例子，讓我們看看圓周率這個數字。圓周率的連分數是
圓周率的連分數展開式。
而前幾個收斂項是：3（當然），22/7（圓周率近似日），333/106，355/113 和 103,993/33,102。在 22/7 之後，所有的收斂項都比 3.1415（與今年的圓周率日日期相對應）更好地近似圓周率。事實上，355/113 的精度比 3.1415 高出兩位小數，而分母中只有三位數，而不是五位數（如果您將 3.1415 視為 31,415/10,000）。如此高效，為什麼還要費心使用十進位制數字呢？當其他人在慶祝“我們一生中唯一的圓周率日”時，你應該告訴他們 3.1415 不是對圓周率的一個很好的近似值。儘量避免在 9:26 說這句話。
索伊德伯格也同意：3.1415 不是圓周率的最佳近似值。圖片由我本人在 memegenerator.net 製作。
背誦連分數比背誦十進位制數字是更好的慶祝圓周率的方式。你不會把時間浪費在對應於圓周率平庸近似值的數字上，而只會提到對應於圓周率真正良好近似值的數字。最大的難題是你應該背誦連分數中的分母列表（整數數列線上百科全書中的數列 A001203）還是其收斂項，也就是最能近似圓周率的分數本身。收斂項有點棘手：分子在整數數列 A002485 中，分母在數列 A002486 中。背誦連分數的分母更類似於數字背誦比賽，但收斂項提供了更大的挑戰！
我必須指出，除了十進位制是表示圓周率的一種任意方式之外，我不喜歡數字背誦比賽的原因之一是，借用我從某處讀到的一個比喻，記憶圓周率的數字之於數學，就像記憶羅伯特·弗羅斯特詩歌中的字母順序之於文學。這不是一項具有智力意義的活動。在這方面，連分數背誦比賽並不比數字背誦比賽好。如果您想用更具數學本質的活動來慶祝圓周率日，請檢視去年圓周率日關於 Math Munch 的文章，其中包含使用蒲豐投針或觀看 Aperiodical 的好心人制作的這個有趣的影片來估計圓周率的說明，其中幾位數學家採用了各種圓周率近似策略，但結果好壞參半。或者閱讀我去年關於 π(x)（素數計數函式，π 符號的另一種數學用法）的文章。無論你做什麼，祝你圓周率日快樂！