本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
本月早些時候，《新科學家》報道，期刊《京都大學數理解析研究所出版物》可能很快會接受望月新一的文章，聲稱解決了 abc 猜想。望月新一在五年前首次宣佈證明了這個數論猜想。從那時起，數學家們一直感到困惑。一些數論學家閱讀了證明，並表示它是正確的，但有些人認為望月新一的論證不夠清晰，無法讓他們評估，也沒有充分解決他們提出的問題。
這幾乎就像一旦數學家理解了這個證明，他們就註定永遠無法向其他人解釋它。這是一個低成本的亞瑟王傳奇：高文爵士和無法溝通的證明。引起如此大轟動的猜想是什麼？
數論以提出容易陳述但難以證明的問題而聞名。以孿生素數猜想為例，該猜想指出存在無限多個素數，它們之間僅相差 2，例如 3 和 5，或 11 和 13。儘管 張益唐在 2012 年朝著證明它邁出了重要一步，表明存在無限多個素數，它們之間相差 7000 萬（這個差距後來縮小到 246），但完整的猜想仍然未解決。
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費馬大定理是數學中最著名的結果之一，它指出對於大於 2 的整數 n，方程 an+bn=cn 沒有整數、非零解 a、b 和 c。雖然理解它不需要太多解開，但在費馬在他的書的頁邊空白處潦草寫下他的主張與安德魯·懷爾斯成功解決這個問題之間，已經過去了 350 多年。
abc 猜想不像那些容易陳述但難以證明的問題。它很難證明，但也很難陳述。它不像證明那麼難陳述，但它不像孿生素數或費馬大定理那樣容易脫口而出。
歸根結底，abc 猜想的宏大而深刻的思想是，兩個整數的因數與它們和的因數之間存在關係。乍一看，這很奇怪。瞭解 4 和 11 的因數如何告訴我們關於 15 的因數的資訊？7 和 8 會告訴我們相同的事情還是不同的事情？為什麼乘法和加法應該彼此有任何關係呢？
為了在更細粒度的層面上理解 abc 猜想，我們從兩個沒有公因數的整數 a 和 b 開始。（素數是僅有的因數是 1 和它本身的數字。為了方便起見，1 本身不被認為是素數。）我們還考慮它們的和 a+b=c。三元組 (4,11,15) 和 (7,8,15) 都是允許的，但 (5,10,15) 和 (6,9,15) 則不允許，因為它們有公因數。
abc 猜想關注一個稱為整數的根基 (radical) 的量，對於數字 n，表示為 rad(n)。它是所有除整數的不同的素數的乘積。因此，數字 2、4、8、16 等都具有相同的根基，即 2，因為 2 是它們唯一的素因數。數字 60 是 22×3×5，因此 rad(60)=2×3×5=30。
我們將關注 rad(abc)。如果你開始玩一些例子，你會發現如果 a+b=c 且 a、b 和 c 沒有公因數，數字 c 通常小於 rad(abc)。例如，對於數字 4、11 和 15，我們有 15
它並非總是有效。例如，5+27=32。27 是 3 的冪，32 是 2 的冪，因此我們可以很容易地計算 rad(5×27×32)。它是 5×3×2，即 30，剛好低於 32。對於更大的例子，考慮 1、4095 和 4096。4096 是 2 的冪——準確地說是 212。分解 4095 需要更多的工作，但最終結果是 32×5×7×13，因此 rad(1×4095×4096)=2×3×5×7×13=2730。
c
三元組 (5,27,32) 的質量相當低，略低於 1.02。三元組 (1,8,9) 的質量更高；rad(72)=6，你必須將 6 提高到大約 1.23 次冪才能得到大於 9 的數。
在開始這篇文章 900 個字後，我們終於可以陳述 abc 猜想：對於任何大於 0 的數字 ε，只有有限多個三元組，使得 c>rad(abc)1+ε。因此，如果我們取 ε=0.02，對於 1.02 的質量，三元組 (5,27,32) 不算數，但 (1,8,9) 算數。另一種說法是，如果我們設定一個嚴格大於 1 的任何給定數字的質量閾值，只有有限多個三元組會超過它。*（還有一些其他等效的表述，但我們在此不贅述。）
我們已經瞭解了 abc 猜想是什麼，但尚不清楚它為什麼是這樣。當然，我們可以問對於給定的 ε，是否存在有限多個或無限多個三元組，使得 c>rad(abc)1+ε，但世界上為什麼會有人想問這個問題呢？
我沒有太多數論背景，所以為了寫這篇文章，我看了很多例子，開始理解根基的概念和猜想本身。我想理解 rad(abc) 衡量的是什麼，以及 abc 命中在質量上意味著什麼。正如我們提到的，最初的兩個命中是 (1,8,9) 和 (5,27,32)。在每種情況下，我們都有兩個完美的冪（不同素數的冪；8=23 vs. 9=32 和 27=33 vs. 32=25），它們非常接近彼此。**
但 abc 命中不必是那樣的。我們也有 (1,48,49) 和 (1,4095,4096)。在這些情況下，48 和 4095 不是一個素數的完美冪，但它們確實具有相當小的素因數和重複因數：48=24×3，而 4095=32×5×7×13，正如我們之前看到的。我得出的結論是，以一種印象派的方式，我們試圖找到恰好彼此接近的數字（也就是說，三個數字中最小的數字通常比最大的兩個數字小得多），並且它們本身或可被素數的大冪整除。
在反思了一些 abc 命中之後，我開始理解 abc 猜想如何與其他數論問題相關。例如，我們可以回到費馬大定理，即關於方程 an+bn=cn 的那個定理。它說一個數的 n 次冪永遠不會相差 n 次冪。但是它們可能接近於相差 n 次冪，或者它們可能相差某個不同數字 m 的 m 次冪嗎？我們可以詢問類似的方程：an-bm=1 或 an+bn=5cn。** 有許多、許多方法可以改變這些和類似的方程，它們被收集在 丟番圖方程 的總稱下，而 abc 猜想是一個非常普遍的問題，最終解決了這些丟番圖方程有多少個整數解以及如何解的問題。
數學界需要多長時間才能完全理解和驗證或找到望月新一所聲稱的 abc 猜想證明中的缺陷尚不清楚，但我希望在這次巡視之後，猜想本身會更有意義，如果您願意，您可以開始自己玩一些高質量的 abc 命中。
*這句話已更新以使其更清晰。感謝 Twitter 關注者指出了原始句子的錯誤。
**這些句子已更正。感謝 Twitter 關注者指出了我的錯誤。
關於 abc 猜想已經有很多著作。如果您想閱讀更多相關內容，以下是一些我推薦的連結。
布萊恩·海耶斯在他的部落格 bit-player 上多次撰寫關於 abc 猜想的文章： 像 abc 一樣簡單 abc 遊戲 ABC 和 FLT
巴特·德·斯米特有一個關於 abc 命中的頁面，包括最小的 418 個示例表和一個連結，連結到由小於 18 位數字的整陣列成的所有三元組。
對於那些具有紮實數學背景的人，安德魯·格蘭維爾在 2002 年撰寫了關於 abc 猜想如何與其他數論重要定理相關的文章。
有關證明的當前狀態以及圍繞它的爭議的資訊，請閱讀來自 Persiflage 和 Not Even Wrong 的這些帖子（及其活躍的評論部分）。