本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，僅反映作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
這個月，我的數學新聞推送都被兩個數論故事佔據了：牛津關於abc猜想的研討會和派珀·哈倫的論文。兩者都屬於數論領域，但這也就是相似之處的終點。冒著過度解讀這兩個故事的風險，它們似乎代表了數學領域可能正在發生的文化轉變中的兩個端點。
abc猜想
數論以擁有許多容易陳述但難以證明的定理和猜想而聞名（孿生素數和考拉茲猜想就是例子）。abc猜想稍微複雜一些。在基本層面上，如果a、b和c是整數且a+b=c，則該猜想將a和b的質因數與c的質因數聯絡起來；換句話說，它將整數的加法性質與其乘法性質聯絡起來。（這種聯絡當然是出乎意料的。沒有明顯的理由認為11和3的質因數會與14的質因數相關。）
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以下是abc猜想的嚴格陳述：對於每個ε>0，只有有限多個互質正整數三元組a+b=c，使得c>d(1+ε)，其中d是abc的不同質因數的乘積。這有點拗口，但如果您代入一些數字，您就可以對此有所體會。在11、3和14的情況下，這三個數字的質因數是2、3、7和11，因此d=2×3×7×11=462。462已經遠大於14，因此對於這些數字，該表示式是成立的。
2012年，日本數學家望月新一宣佈他已經證明了abc猜想，而數學界……撓頭不解。當像abc這樣的大猜想的證明被宣佈時，該研究領域的許多數學家通常會開始閱讀證明以確保其正確性，並且期刊會加快同行評審過程，以便儘快發表。
但abc的情況並非如此。許多人嘗試了，但望月新一的證明如此冗長和奇怪，以至於極少數數學家，即使是數論專家，也能夠在他理解其技術方面取得任何進展。望月新一為解決這個問題而開發的“星際-宇宙泰希米勒理論”幾乎是不可理解的。（我研究非星際-宇宙變體的泰希米勒理論，我不知道望月新一的理論是否以及如何相關，但那是改天再討論的問題。）到目前為止，數論學家尚未就望月新一的證明是否正確達成共識。
本月早些時候，牛津大學舉辦了一個關於望月新一工作的研討會，旨在將主要思想快速傳播給數論學家，希望他們能夠驗證該證明。但結果並不盡如人意。斯坦福大學數學家布萊恩·康拉德參加了研討會，並在mathbabe.org上寫了一篇詳細的帖子。我從他的帖子以及Felipe Voloch的Google+更新以及《自然新聞》和《量子雜誌》的文章中得到的印象是，一些研究人員在理解望月新一理論的一些基礎方面取得了一小部分進展，但總的來說，他們對該理論和解釋在目前看來是多麼晦澀感到沮喪。
解放的數學家
“受人尊敬的研究數學被具有某種態度的男性所主導。” 數學家派珀·哈倫的論文《三次、四次和五次數域整數環的格形分佈：藝術家的渲染圖》（pdf）的序言以此開頭。
整個序言都非常精彩，所以與其試圖描述它，不如直接引用它。
“即使考慮到個體差異，仍然存在一種壓抑的氛圍，這種氛圍被那些認為它有利於成功的人小心翼翼地維護甚至擁護。正如任何優秀的博士生都會做的那樣，我試圖在數學上融入其中。我吸收了這種氛圍，並將這些態度銘記於心。我感到痛苦，並且瀕臨失敗。問題不在於個人，而在於一個自我保護的系統，從外部來看，感覺就像是一長串的背叛，有些大，有些小，都是由你唯一的支援系統犯下的。當我將自己從這種環境中物理地移除時，我不知道自己在哪裡或該做什麼。第一個想法：自由！！！！第二個想法：但是像我這樣的其他人呢，他們不以“正確的方式”做數學，但仍然可以為社群做出巨大貢獻？我將這兩個想法結合起來，從零開始撰寫我的論文。例如，有些人試圖閱讀數學論文，然後會想，“我的天哪，這到底是什麼意思，他們為什麼不能直接說出他們的意思？？？？”而不是，“啊，多麼可愛的結果！”（我甚至無法假裝知道“正常的”數學家在閱讀數學時是什麼感覺，但我知道那不是我的感受。）我的論文在很多方面都不是很嚴肅，有時是諷刺的，非常坦誠，而且非常像我。它是我的藝術。它是我自己。它在數學上也是我能誠實地做到的最完整的。”
“我不願意假裝所有思考方式都受到同等鼓勵，或者不存在非常真實的缺乏多樣性的問題。讓這個系統對自己感到舒適不是我的職責。這對於快樂的數學家來說可能難以讀下去；我唯一的希望是這種挑戰被接受。”
接下來是一篇數學論文，充滿了真正的數論內容，但以非正式的風格寫成，併為外行人、想要大致瞭解思想的數學家和想要了解一些血淋淋的細節的人清楚地標記了部分。她用獨輪車和一群表現良好的孩子來解釋概念。還有關於在寫論文時臨盆的漫畫。論文的內容並不簡單，但呈現方式卻很有趣且令人耳目一新。
哈倫的網站名為解放的數學家，她寫道：“我對數學的看法是，它是一個絕對的爛攤子，積極地排斥那些可能使其變得更好的人。我對天才冒充者沒有耐心。我想賦能於人民。”
哈倫在她的網站上有一個不情願的也許是部落格，並在mathbabe.org上寫了一篇很棒的帖子。在這兩個地方，她都說出了我們很多人害怕說出口的話，關於我們為了融入數學界而不得不接受的態度。根據她的論文和部落格文章在我的Facebook和Twitter上的傳播方式，我認為我不是唯一一個認同她描述的許多感受的人。我當然也感受到了她作為一名剛入學的研究生所感受到的同樣的合規壓力。正如她所說：“請告訴我為了不掀起波瀾我必須遵守的規則！”
我為什麼既要寫abc猜想又要寫派珀·哈倫的論文
在望月新一於2012年聲稱他已經證明了abc猜想後不久，凱茜·奧尼爾寫道，“證明是一種社會建構：如果我只讓自己相信某件事是真的，那它就不能構成證明。只有當我能輕易地說服我的受眾，即其他數學家，某件事是真的時，它才能構成證明。此外，如果我聲稱已經證明了某件事，那麼說服他人我相信我已經做到了是我的責任；嘗試理解它不是他們的責任（儘管如果他們嘗試理解會非常好）。” 在同一篇文章的後面，她寫道，“我不是說望月新一永遠不會證明ABC猜想。但他還沒有證明，即使他的手稿中的內容是正確的。為了使其成為證明，應該有人，最好是嘗試過的整個專家社群，理解它，並且他應該是解釋它的人。”
望月新一沒有履行作為證明的社會建構的責任，而哈倫做到了。但這不僅僅是這樣。望月新一的作品可能看起來是故意的晦澀難懂，而那些讀過並說他們理解它的人可能對其他人的問題不屑一顧（參見伊萬·費森科在這篇Not Even Wrong帖子中的評論）。對於abc猜想的情況，很容易同情提問者。如果參加會議的德高望重的數論學家都無法理解星際-宇宙泰希米勒理論，那麼問題出在解釋上，而不是提問者身上。他們已經贏得了社群的尊重。另一方面，哈倫的工作遠遠超出了對證明的期望。
在理想的世界中，數學證明只是一種說服其他數學家某件事是真實的方法。但其中包含的包袱不止於此。我們以特定的風格書寫數學，這種風格通常會消除直覺、示例和路標。對於每個人都知道什麼，都有一套假設，如果你不知道其中一些，那你就要倒黴了。當然，這些假設是有用的；我們必須從某個地方開始。我們不能在每篇論文的開頭都定義加法和乘法，但我們也不想灌輸許多數學學生所拾起的害怕承認自己無知的恐懼。
大約在同一時間我讀到哈倫的論文時，我讀到了一篇威廉·瑟斯頓的紀念文章，發表在《美國數學學會通告》（pdf）上，他在MathOverflow個人資料中的一段引言讓我印象深刻：
“數學是一個過程，需要足夠努力地、足夠堅持地盯著混亂和困惑的迷霧，最終突破並獲得更高的清晰度。當我至少可以向自己承認我的思維是混亂的時候，我會感到高興，並且我努力克服我可能會暴露無知或困惑的尷尬。多年來，這幫助我在某些事情上發展了清晰度，但我在許多其他事情上仍然感到困惑。我喜歡看起來真誠的問題，即使它們承認或揭示了困惑，而不是那些看起來旨在展示成熟的問題。”
我很高興看到一位受人尊敬的、功成名就的數學家持有這種態度，我希望人們能將其銘記於心。對於我們這些不太自信的人，尤其是那些來自數學領域代表性不足群體的人來說，公開接受它是很困難的。我欽佩哈倫，不僅因為她試圖揭開帷幕，幫助人們理解他們可以理解數學，還因為作為一名有色人種女性，她可能為此付出更高的代價。在瑟斯頓身上被視為謙遜、誠實和令人欽佩的品質，在來自不同背景的人身上可能被視為無能的跡象。（正如經常發生的情況，有一個相關的xkcd漫畫。）
這就是為什麼哈倫的工作更加必要。正如她在論文中所寫，她希望向學生傳達“1) 你不應該期望在你閱讀時理解每一個字，2) 你可以在成功理解數學之前成功地使用數學，以及 3) 對你的理解保持誠實必須是可以接受的。” 我希望更多年輕的數學家能吸取這些教訓，並且不要害怕暴露他們的無知。
關於這兩個故事，我認為另一件有趣的事情是誰報道和分享了它們。我的數學朋友瘋狂地分享哈倫的論文，而我從關注科普的非數學家那裡看到了更多關於abc猜想的資訊。這不是一個二元對立的事情；數學家分享了關於abc猜想的文章，非數學家撰寫了關於哈倫論文的文章，但在我看到的範圍內，在很大程度上是相反的。
我不完全確定從故事的分享方式中得出什麼結論，但它感覺很重要。我認為這說明了數學家
呈現自己允許他人呈現他們的方式。在某種程度上，我們希望別人把我們放在神壇上。當有人傳遞“哦，這太複雜了——你不會理解的”的資訊時，我們並不真的介意。
另一方面，數學界內部對哈倫工作的強烈積極反響表明，數學界的許多人渴望一些不同的東西。即使對於那些現狀對他們有效的人（畢竟，他們仍然在那裡），也認識到當我們為某些群體的人設定障礙或鼓勵人們採納哈倫在她的論文中寫到的“某種態度”時，數學會遭受損失。
abc猜想是否代表著垂死的舊衛道士，而派珀·哈倫是否代表著未來的方向？我猜想沒有那麼戲劇性的事情正在發生。但數學家應該思考他們想如何解釋數學，以及他們在過程中邀請了哪些人，又排除了哪些人。