本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
當我開始寫關於我最喜歡的拓撲空間時，我就知道我總有一天要面對開集。在拓撲學中，僅僅透過說明空間中包含哪些點來定義空間是不夠的。每個拓撲空間都帶有“包袱”：開集。只有幾個規則：全空間和空集都必須是開集，任意有限個開集的交集必須是開集，並且任意集合的並集或組合也必須是開集。
在某種意義上，所有開集都是數軸上像 (0,1) 這樣的開區間的推廣。（如果數學符號對您來說已經是很遙遠的記憶，那麼這裡的括號表示我們包括所有大於 0 且小於 1 的數字，但不包括 0 和 1 本身。如果我們想包括端點，我們會寫成 [0,1] 並稱其為閉區間。）為了滿足上述所有要求，我們還宣告空集是開集，無界區間也是開集，例如所有大於 3 的數字的集合，我們將其寫為 (3,∞)，並且開區間的集合也是開集。
但是我們可以對哪些集合是開集做出不同的決定，最終得到不同的拓撲空間。標準拓撲的一種替代方案稱為下限拓撲。在這種拓撲中，開集是半開區間：例如 [0,1)。唯一的區別是我們現在包括了左端點。當我們分析開集的並集必須是開集的規則時，我們發現當我們定義像 [0,1) 這樣的集合為開集時，我們也得到了像 (0,1) 這樣的集合。因此，下限拓撲肯定與標準拓撲不同：標準拓撲中的所有開集在下限拓撲中也是開集，但下限拓撲也具有標準拓撲中沒有的其他開集。
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我們為什麼要關心開集？我無意告訴您感受，但數學家關心開集是因為它們使我們能夠確定非常抽象空間上函式的性質。
不連續性。圖片來源：艾倫·喬伊斯，來自 Flickr。
空間之間函式最重要的性質是連續性。對於像數軸（使用通常的拓撲）這樣的空間，連續性在直覺上是顯而易見的：如果可以在不拿起筆的情況下繪製其圖形，則函式是連續的。任何地方都沒有大的跳躍。
連續性的直觀定義要求我們能夠測量點之間的距離，但是有時數學家希望能夠為空間之間不一定具有內建距離函式的函式定義連續性。連續性的拓撲定義僅需要開集。如果每個開集的原像都是開集，則函式是連續的。集合的原像只是對映到該集合下的點的集合。例如，如果函式是 f(x)=x2，則 1 的原像是由點 1 和 -1 的並集。
為了瞭解開集對連續性的重要性，讓我們回到數軸。以開區間作為開集的標準拓撲僅僅是開始。使用該拓撲，連續函式正是我們所期望的：沒有大的跳躍。最簡單的替代拓撲是非離散拓撲。在非離散拓撲中，我們確定唯一的開集是整條線和空集。畢竟，我們是很忙的人，我們還有其他重要的事情要做。現在讓我們考慮一個從數軸到自身的函式，它具有非離散拓撲。無論函式是什麼，我們只關心整條線的原像，因為那是唯一重要的開集。如果函式定義在整條線上，那麼線的原像就是整條線，一個開集。因此，如果目標空間具有非離散拓撲，則任何函式都是連續的。
另一方面，離散拓撲變得很小。在離散拓撲中，每個單獨的點都是一個開集。然後，開集的規則宣告點的每個組合都是一個開集。儘管這在某種程度上與非離散拓撲相反，但它也具有大大簡化確定函式是否連續的過程的效果。如果您有一個來自具有離散拓撲的數軸的函式，則函式甚至目標空間是什麼都無關緊要。該函式將是連續的，因為離散拓撲中沒有非開集。
當學生第一次接觸初級拓撲學時，他們有時會對他們所擁有的權力感到迷惑。數學空間並不總是配備它們的開集，因此我們可以透過法令來定義它們。當然，有些開集比其他開集更有用，但最終，我們是我們拓撲命運的主人。