本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
今年夏天早些時候，我在英國待了大約一個月，這意味著我乘坐了很多次火車。我喜歡坐火車：當我看著出發指示牌時，那種無限可能的感覺，窗外掠過的鄉村景色，精彩的路人觀察，
愛丁堡和曼徹斯特之間因我們前方軌道上的一列火車被困而延誤兩小時，當然，還有火車路線的數學特性。我花很多時間在火車上，或者實際上在任何交通方式上，思考度量。
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從最抽象的意義上講，度量是一個接受兩個輸入並輸出一個正數（或零）的函式。 不那麼正式地說，它是一種計算兩點之間距離的方法。 我們最熟悉的度量是“直線距離”度量：在平坦的紙張或地圖上的距離。
為了符合度量的資格，一個函式必須遵守一些規則。 首先，如上所述，它必須是非負的。 它必須使從 A 到 B 的路線長度與從 B 到 A 的路線長度相同，並且當（且僅當）被問及從任何點到自身的距離時，它必須給出輸出 0。 最後，如果您正在檢視空間中的任意三個點，則從 A 到 C 的距離必須小於或等於從 A 到 B 的距離加上從 B 到 C 的距離。 我們將此屬性稱為三角不等式，因為它很容易用三角形的圖片來說明。
三角不等式指出，從 A 到 C 的距離（三角形的底邊）必須小於從 A 到 B 的距離加上從 B 到 C 的距離。 換句話說，三角形的任何一條邊都比另外兩條邊加起來短。 圖片來源：Evelyn Lamb。
兩點之間的直線距離是度量的標準示例，但在日常生活中還有許多其他自然而然出現的度量。 要從我的公寓到圖書館，我不能斜穿過街區。 我必須沿著街道走，所以我必須向南走幾個街區，然後再向東走幾個街區。 標準度量會低估我走到那裡必須走的距離，所以我需要一個新的度量，一個考慮到街道實際佈局的度量。 網格系統的城市的度量通常被稱為“曼哈頓度量”或“計程車度量”。 （“鹽湖城”度量將是它的另一個好名字。我們城市的街道非常網格化！）
回到火車，有一種度量有時被暱稱為“SNCF”，以法國國家鐵路系統命名：為了從法國的任何一點到達法國的任何另一點，您必須乘坐火車到巴黎，然後再從巴黎乘坐火車到您的目的地。 連線已經變得更好，但在我的法國火車體驗中，這種描述似乎很貼切。 （該度量有時也稱為英國鐵路度量，倫敦取代了巴黎的角色，但這對我來說似乎不太公平。 “邊疆航空度量”也將是一個不錯的名稱，丹佛取代了巴黎。）
但是我想考慮一種不同的衡量火車“距離”的方式。 當我乘坐火車時，我實際上並不關心我行駛的英里數。 我關心的是價格和/或所需的時間。 通常這些與距離相關，但相關性並不完美。 時間和價格在數學上並不總是度量：中途停留的安排可能很容易使從 A 到 B 的行程比從 B 到 A 的行程更長。 但我震驚地得知英國火車票價甚至不滿足三角不等式！
是的，如果您想乘坐火車從英國的 A 點到達 C 點，有時購買兩張票更便宜：一張從 A 點到 B 點（沿途的某個地方），另一張從 B 點到 C 點。 這不一定只是幾便士的問題。 上面連結的文章給出了在某些行程中節省超過 50% 的例子。 他們說從伯明翰到布里斯托的單程票價為 42.10 英鎊，但從伯明翰到切爾滕納姆的票價為 17.90 英鎊，從切爾滕納姆到布里斯托的票價為 7.30 英鎊，總成本為 25.20 英鎊。 （這篇文章發表於 2009 年 11 月，所以價格可能從那時起就發生了變化。） 有多個網站致力於幫助精明的旅行者利用火車票價的非度量性質。 但我有點反感，這竟然是可能的。
作為一名經常乘坐飛機的人，我意識到機票的價格可能是不透明的，但這與在合適的日子購買或在週三飛行以省錢無關。 分段購票可以用於在同一時間購買的同一行程。 您作為乘客的體驗將完全相同，除了您必須交出兩次票而不是一次，並且您將為此支付更少的錢。 對於航空旅行，有時有中途停留的航班比沒有中途停留的航班便宜，但這兩次旅行的乘客體驗非常不同。 此外，如果您實際上將機票作為兩個單獨的航班購買，我很確定成本會高於將它們作為一個行程購買。 也許我對火車分段購票也很生氣，因為我認為航空旅行是一個完全不合理的系統，所以其奇怪的定價方案感覺不像違反自然規律，但我對火車期望更高。 罪魁禍首似乎是各種不同的火車公司，他們為行程的不同部分設定價格。
我自己沒有體驗過分段購票，因為我購買了鐵路通票。 我不知道它是否為我節省了很多錢，但它肯定為我節省了弄清楚票價複雜性的時間和麻煩。 另外，我認為這是對非度量距離函式的適當抗議。