本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
不久前，一位從事銷售的朋友問了我一個問題。假設一家公司根據以某個價格銷售一定數量的單位來預測收入。他們最終以較低的價格銷售了較少的單位，因此他們未達到收入預測的某個金額。其中有多少金額可以歸因於價格降低，有多少可以歸因於銷量減少？
為了用具體的數字來說明這個問題，一家公司計劃以每個 1000 美元的價格銷售 500 個小部件，總計 50 萬美元，但他們只以每個 800 美元的價格銷售了 450 個，總計 36 萬美元。我的朋友想知道 14 萬美元的收入缺口中有多少百分比是由於價格降低造成的，有多少百分比是由於銷量減少造成的。從表面上看，這個問題似乎很簡單：每個百分比都應該是 14 萬美元缺口的一部分。但是，當正數和負數都存在時，檢視百分比是冒險的。
我應該在這裡說明，我一生中總共只上過一門經濟學或商業課程，而且可能存在 MBA 認可的公式來進行此類計算。但我不會去查閱。相反，我想看看一種樸素的數學方法會把我帶到哪裡。
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我的朋友說，他思考這個問題的一種方式是考慮替代方案：如果公司達到了銷售數量，但價格較低，那麼它將賺到 40 萬美元；如果它以目標價格銷售了較少數量的單位，那麼它將賺到 45 萬美元。在第一種情況下，他們少了 10 萬美元，佔 14 萬美元的 71%；在第二種情況下，他們少了 5 萬美元，佔缺失資金的 36%。不需要太多的高深數學就能看出問題所在：這兩個缺口加起來佔缺失收入的 107%。
我的朋友認為，將 2/3 的缺口歸因於價格降低，將 1/3 的缺口歸因於銷量減少可能是有道理的，因為第一種情況下的缺口是第二種情況下的兩倍。
我認為這不是一個糟糕的主意。如果一位咆哮的高管要求你給出兩個數字來解釋為什麼收入下降（我對商業世界的理解主要基於《泰德妙計》），我認為你可以做得比將 2/3 歸因於低價，將 1/3 歸因於低銷量更糟糕。但這是一種冒險的做法。如果降價最終推動了更多銷量呢？
在這種情況下，公司可能以每個 800 美元的價格銷售了 550 個單位，總收入為 44 萬美元。他們仍然沒有達到預計的銷售額，這次少了 6 萬美元。當我們嘗試分解它時會發生什麼？如果他們以 1000 美元的“正確”價格銷售了 550 個單位，他們將賺到 55 萬美元；如果他們以 800 美元的價格銷售了正確數量的單位，他們將賺到 40 萬美元。盲目地應用與之前相同的推理，降價導致了 6 萬美元收入缺口中的 10 萬美元，而銷量變化導致了 -5 萬美元。降價導致了 167% 的收入短缺嗎？銷量增加導致了負 83% 嗎？稍作改變，這種方法就遇到了嚴重的問題。
這就是當數字可能為負數時，檢視百分比的危險。喬丹·艾倫伯格在他的書《不犯錯的數學思維》和Slate 摘錄中舉了一個很好的例子。2011 年 6 月，美國淨增就業崗位 18,000 個。威斯康星州當月淨增就業崗位 9,500 個。政客們宣稱“6 月份美國超過 50% 的就業增長來自我們州。”但是明尼蘇達州增加了 13,000 個工作崗位呢？或者其他也有正就業增長的州呢？問題是一些州增加了就業崗位，而另一些州則失去了就業崗位。正如艾倫伯格寫道，“將負數混入其中，百分比就會變得古怪。”
回到我朋友最初的小部件問題，我認為最好用 FOIL 法來思考它。對於 Nix the Tricks 中的優秀指南，我深感抱歉，該指南敦促教育工作者不要使用可能成為柺杖或掩蓋數學概念問題的技巧和助記符，FOIL 法在我很小的時候就深深地印在我的腦海中，它將永遠是我思考多項式乘法的方式。
對於那些有摒棄技巧的老師的人來說，FOIL 是一種助記符，用於將分配律應用於兩個都有兩部分的表示式。例如，取 (2x+1)×(x+3)。要找到它們的乘積，將第一項 (2x2)、外項 (6x)、內項 (x) 和最後一項相乘，並將它們全部加在一起，得到 2x2+7x+3。
為了將我朋友的問題放入相同的形式，我們可以將每個術語視為目標數字減去缺口。公司想銷售 500 個小部件，但只銷售了 450 個。它希望每個小部件的價格為 1000 美元，但實際上只有 800 美元。所以他們的收入是 (500-50)×(1000-200)。在這種形式下，我們可以清楚地看到發生了什麼。(500-50)(1000-200)=500,000-100,000-50,000+10,000。最後一項是我們一開始所做的樸素赤字計算的偏差。較低的價格和較低的銷量的結合意味著他們未能售出的每個小部件對他們收入數字的損害並沒有他們錯過全價銷售時那麼大。
在我的另一個例子中，他們以每個 1000-200 美元的價格銷售了 500+50 個單位，總收入為 500,000-100,000+50,000-10,000 美元。最後一項表明，較低的價格意味著每次額外銷售的幫助都比預期的要少。
我並不是建議將 FOIL 法作為解決涉及負數和百分比的每個問題的答案——例如，我不明白它如何應用於威斯康星州 2011 年 6 月的就業增長——但在我朋友的收入分析案例中，我認為它可能會為討論增加一些內容。它不像一個數字那樣簡潔地概括了公司的所有問題，但它也不會冒著將 167% 的收入缺口歸因於成本，將負 83% 歸因於小部件銷量的風險。