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普林頓 322，一塊古代美索不達米亞數學泥板，其用途仍然是個謎。圖片來源：公共領域，透過維基共享資源。
正如我在週四告訴我的班級一樣，我們的數學史課程第一週的主題是“以 60 為基數的簡單代數很難”。我們本學期從古代美索不達米亞開始，試圖理解巴比倫*數學符號並解讀普林頓 322，這是一塊來自公元前 1800 年左右的神秘泥板。
巴比倫數字系統使用 60 進位制（六十進位制）而不是 10 進位制。他們的符號系統並不難破譯，部分原因是他們使用了位值記數系統，就像我們一樣。對我們來說，數字 2 可以表示 2、20、200 或 2/10 等等，具體取決於它在數字中的位置。25 表示“兩個十，五個一”。52 具有相同的符號，但它表示“五個十，兩個一”。同樣，60 進制中的 1,3 表示“一個六十，3 個一”，即 63，而 3,57 表示“三個六十，五十七個一”，即 237。
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我和我的學生在解讀這些數字時遇到的最大困難不是需要跟蹤那麼多額外的數字。事實上，這部分非常容易。與我們今天使用的印度-阿拉伯數字不同，巴比倫數字“看起來像”它們所代表的數字。
巴比倫數字出奇地容易解讀。圖片來源：公共領域，透過 sugarfish 和維基共享資源。
不，我們遇到的最大問題是“無”。或者更準確地說，是缺少“無”。巴比倫人沒有零的符號。這有一定的道理。我們為什麼需要一個字面意思為“無”的符號呢？但是，零使我能夠區分 1 和 10，1,000,000 和 0.1。沒有零，我們寫的數字本質上是含糊不清的，我們必須使用上下文線索來弄清楚在給定情況下意味著什麼數量級。
我應該說，巴比倫人沒有零符號的說法並不完全正確。在我們在課堂上研究的泥板普林頓 322 中，數字之間存在一些間隙，這些間隙表示數字中間的零，就像 101 中的 0 表示零個十一樣。後來，他們添加了一個零符號，但它僅用於數字中間的零，從不在兩端使用。這樣，他們就可以區分數字 3601（寫成 1,0,1）和 61（寫成 1,1）。但是 60 和 1 始終以相同的方式書寫。他們從未飛躍到在數字末尾使用零符號以完全消除歧義。有記錄的最古老的零出乎意料地現代化：它位於印度的一座寺廟中，其歷史可追溯到公元 875 年左右。
缺少零的一個奇怪後果體現在倒數上。我們通常認為倒數是像 2 和 1/2 這樣相乘等於 1 的數字對。但是，巴比倫倒數表（使計算更快）將任何兩個相乘得到 60 的冪的數字列為“倒數”。例如，5 和 12 在這種意義上是“倒數”，因為它們相乘等於 60。為什麼倒數的這種定義有意義呢？因為當你在沒有零的 60 進制中書寫時，60 看起來就像 1！1/60、3600 和任何其他 60 的冪也是如此。這就好像我們將 4 和 25 視為倒數，因為它們相乘等於 100。只有當我們沒有零時，這才有意義，這樣 1 和 10 看起來才相同。
當然，有一種方法可以將巴比倫符號中的 5 和 12 解釋為傳統意義上的倒數，這又是由於缺少零而增加的歧義造成的。如果我們將 12 解釋為 12/60 (1/5)，那麼我們可以將其乘以 5 得到 1。或者，我們可以將 5 解釋為 5 個六十 (300)，將 12 解釋為 12/3600。這些數字相乘也等於 1。我不知道使用這個系統的人們真正是如何看待倒數的。
我們在課堂上花了一些時間計算巴比倫“倒數”（pdf），這出奇地困難。我一直告訴我的學生，他們可以假設數字具有他們想要的任何數量級。但是我們太習慣於數字是完全具體的，以至於額外的自由度似乎使事情更加混亂。
我告訴我的學生，本週的主題是“以 60 為基數的簡單代數很難”，但這並不是真正的重點。基數並不是使以 60 為基數的計算變得困難的原因，而是制定它的那個民族的數學文化與我們的文化截然不同。更準確的口號應該是“4000 年後，用完全不同的數學觀點來看，簡單的代數很難”，但它不太朗朗上口。
要了解更多關於巴比倫數學的資訊，請參閱 Duncan Melville 的美索不達米亞數學頁面。要了解更多關於普林頓 322 的資訊，請訪問 David Joyce 的數學史網站或閱讀 Eleanor Robson 的文章 既不是夏洛克·福爾摩斯也不是巴比倫：對普林頓 322 的重新評估 (pdf)。
*我在本文中互換使用“巴比倫”和“古代美索不達米亞”。巴比倫只是古代美索不達米亞的一個城市，但這種用法相當標準。