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在這一集“我最喜歡的定理”中，我很高興與艾米·拉敦斯卡婭交談，她是波莫納學院的數學教授，也是EDGE的聯合主任，該專案旨在幫助女性為數學研究生院做準備。我們在美國數學協會的夏季會議MathFest錄製了這一集。您可以在這裡收聽這一集，也可以在kpknudson.com收聽。
拉敦斯卡婭博士最喜歡的定理是伯克霍夫遍歷定理。這個定理來自動力系統，即研究空間在應用某些變換時如何隨時間變化。您可以想象粒子在一個盒子裡彈跳，或者檯球在臺球桌上飛馳。
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在任何這些變換中，都會存在不變點集；也就是說，集合中的任何點都將移動到集合中的另一個點。一個簡單但令人不滿意的不變集例子是整個空間。如果粒子盒子或檯球桌中內建了某種障礙物，則障礙物兩側的點必須留在各自的一側，因此每一側都將是一個不變集。這些不變集在某種程度上衡量了函式的混合性。右側始終保持在右側的函式不如一側的點可以最終到達任何位置的函式混合性高。如果一個函式非常具有混合性，則稱其為遍歷的。當然，數學定義不包含“非常具有混合性”這個短語。它更技術性一些，說唯一的不變集要麼非常小，要麼非常大。（為了
進一步混淆問題使一切更有趣，混合也是動力系統中的一個技術術語，它與遍歷性不太相同。）
伯克霍夫遍歷定理指出，遍歷函式具有另一個有用的性質：空間中一個點的路徑的時間平均值等於空間中所有值的平均值。這個性質的一個現實世界的例子可能是這樣的：如果任何一個人在特定年份有 1/500 的機會感染某種特定疾病，那麼在任何給定年份，大約也有 1/500 的人口會感染這種疾病。“時間平均值”是某人在給定年份的疾病風險。“空間平均值”是該年整個人口的疾病發病率。
我對遍歷理論的瞭解只夠讓我變得危險，結果我在這一集中劇透了這個定理！我對“遍歷”這個詞的工作定義實際上是伯克霍夫遍歷定理對該性質的描述，我張開大嘴，在拉敦斯卡婭博士實際講到它之前就跳出來做了這個描述。多麼尷尬！儘管我笨手笨腳，拉敦斯卡婭博士還是非常寬容，我們愉快地聊了聊遍歷理論和伯克霍夫遍歷定理。
拉敦斯卡婭博士在回到學校攻讀數學博士學位之前，曾擔任過大提琴家，她選擇將她的定理與史蒂夫·萊 Reich 的作曲Violin Phase和義大利麵食paglia e fieno或稻草和乾草搭配。您必須收聽這一集才能知道她為什麼認為它們是伯克霍夫遍歷定理的完美搭配。
我認為這是播客特別好的一集，適合一年的結束和新一年的開始。當我們回顧今年並思考明年目標時，我們可以借鑑遍歷定理的指導。正如拉敦斯卡婭博士所描述的那樣，“你是點，你在你的生活中四處走動。如果你的生活是遍歷的，很多時候確實如此，它表明你將比其他人更頻繁地遇到某些事物。你更頻繁地遇到的那些事物是什麼？嗯，對你來說具有更高衡量標準的事物，具有更高的意義。” 我想確保我不斷遇到的事物確實是對我來說具有最高衡量標準的事物。
新年快樂！願您的 2018 年生活是遍歷的！
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