本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，僅反映作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
這個羅爾定理數學事實的證明，
我寫了下來；這是我的目標
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只用單音節詞。
（這樣聽起來不會太聰明。）
請告訴我你是否發現漏洞。
羅爾定理數學事實
設 f 是從實數的閉區間（從 a 到 b 的區間）到全體實數集合的對映。（實數的區間被稱為閉區間，如果最小和最大的點都在區間內。） 如果函式 f 的影像的斜率在從 a 到 b 的所有點都存在，並且 f(a) 與 f(b) 相同，那麼函式 f 的影像在某個大於 a 且小於 b 的點處是平坦的（斜率為零）。
羅爾定理數學事實的證明
首先，可能的情況是 f 在從 a 到 b 的所有實數上都相同。那麼函式 f 的影像在從 a 到 b 的所有實數上都是平坦的。我們完成了！
如果情況並非如此，那麼必定存在一個點 d，使得 f(d) 大於 f(a) 或 f(d) 小於 f(a)。我們可以只考慮第一種情況，因為最後一種情況非常相似。
我們現在將使用一個關於影像不跳躍的對映的數學事實：如果存在這樣一個在實數閉區間上的對映，那麼影像必須在該區間內達到最大值和最小值。
如果我們知道函式 f 的影像不跳躍，我們就可以使用這個數學事實。為了看到函式 f 的影像不跳躍，我們使用這個數學事實：如果一個對映的影像的斜率在所有點都存在，那麼這個對映的影像就不跳躍。我們知道我們可以在所有點找到函式 f 的影像的斜率，所以我們可以說函式 f 的影像不跳躍。
我們現在知道函式 f 必須在從 a 到 b 的區間內達到最大值和最小值。由於存在一個 d 使得 f(d) 大於 f(a) （與 f(b) 相同），我們知道最大值一定不在 a 或 b 處。因此，最大值在某個大於 a 且小於 b 的點 c 處。
我們將證明影像在 c 處必須是平坦的。我們如何找到影像在這個點的斜率？用這種方法：對於某個小的 h，用 f(c+h) 減去 f(c)。現在將這個放在 h 的上面（分子）。我們持續這樣做，當 h 越來越接近零時。由於 c 是影像的最高點，對於每個小的 h，無論 h 大於還是小於零，f(c+h) 都小於 f(c)。所以分子部分對於所有 h 都必須小於零。
如果一個東西的分子部分小於零，分母部分大於零，那麼這個東西就小於零。如果一個東西的分子部分小於零，分母部分小於零，那麼這個東西就大於零。
我們知道我們可以在從 a 到 b 的所有點找到函式 f 的影像的斜率，所以當 h 從小於零開始並越來越接近零時，我們得到的斜率與當 h 從大於零開始並越來越接近零時得到的斜率相同。在第一種情況下，我們得到小於零的值。在最後一種情況下，我們得到大於零的值。所以小於零的值和大於零的值都趨向於同一個值。唯一可行的方式是如果 c 處的斜率為零。
我們完成了！
這是對 David Roberts 在 Google+ 和 n-Category Café 上發起的挑戰的回應，該挑戰要求僅使用單音節詞來寫證明。（我為 AMS Blog on Math Blogs 寫了關於這個挑戰的文章。）我知道 Roberts 期待像陶哲軒或 Ben Green 這樣的人用單音節詞來解釋格林-陶定理（祝好運！），但我希望他不介意我這個更平庸的貢獻。對於羅爾定理（均值定理的一個特例）的多音節解釋，請參閱 cut-the-knot 上的頁面。