2015年5月28日

我最喜歡的一些空間：拓撲學家的正弦曲線

拓撲學家的正弦曲線是一個經典的例子，它展示了一個連通但不路徑連通的空間：你可以看到終點線，但你無法從這裡到達那裡。

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點。

初學分析學和拓撲學的學生會接觸到集合的四個基本性質：開集、閉集、緊緻和連通。在這些性質中，連通性似乎應該是最容易理解的。連通在英語中有一個相當清晰的含義。但是，要準確地給出數學定義卻出乎意料地困難。拓撲學家的正弦曲線是例子之一，它有助於闡明連通到底是什麼意思。

作為一個常用的英語單詞，我們通常認為連通性是兩個事物的屬性：A和B是連通的，如果它們在某種程度上重疊，或者如果你可以從A到達B。在數學中，連通性是一個集合的屬性。我們如何將英語的概念數學化並將其應用於一個物件呢？一個誘人的定義是，如果可以從集合中的一個點到達集合中的任何其他點，則該集合是連通的。但是複式住宅呢？你可以在同一單元的房間之間走動，但你不能在不離開復式住宅的情況下從一個單元到達另一個單元。複式住宅是連通的嗎？我認為是連通的。所以這還不是連通的正確定義。能夠到達集合中任意兩點之間是一個非常有用的數學性質，但它太強了。數學家將具有該性質的空間稱為路徑連通，我們稍後會更多地討論它。

連通性要稍微微妙一些。對於我們的第二次嘗試，我們將從這裡開始：一個集合X是連通的，如果你不能將它的一部分放在集合A中，其餘部分放在集合B中，以使A和B不重疊。但這裡有一個小問題：這個定義完全沒用。它會使太多的空間變成不連通的。我們可以將所有實數的集合分成大於或等於0的數和小於0的數。這些集合不重疊，所以按照我們的定義，實數軸將是不連通的。顯然，實數軸應該是連通的，任何使其不連通的定義都是錯誤的。

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問題是什麼？我們將邊界點0包含在一個集合中，但沒有包含在另一個集合中。如果我們把0同時包含在兩個集合中，這兩個集合就會重疊；如果我們都不包含0，這兩個集合就不會重疊，但它們也不會覆蓋整個實數軸。“正確”的答案是從兩個區間中都排除端點。不包含端點的區間稱為開區間，所以我們說，如果不能將集合X的一部分放在一個開集A中，其餘部分放在一個開集B中，且A和B不重疊，則集合X是連通的。這個定義不僅適用於一維集合；我們也可以在高維空間中定義開集。基本上，一個集合是開集，如果它的任何點都不在邊界上，或者等價地，如果集合中的每個點周圍都有一個小“blob”也包含在該集合中。

做了這麼多工作才定義了連通性！現在是收穫的時候了。看，拓撲學家的正弦曲線！

這個空間是函式 f(x)=sin(1/x) 在區間 (0,1] 上的圖形，並與點 (0,0) 連線而成。我們可以看到，當 x 接近 0 時，1/x 變得越來越大，因此 sin(1/x) 在 -1 和 1 之間劇烈振盪。

拓撲學家的正弦曲線是數學學生將看到的第一個例子之一，它展示了一個連通但不路徑連通的集合。你可以看到終點線，但你無法從這裡到達那裡。

為什麼它是連通的？讓我們嘗試將其放入兩個不重疊的開集中。其中一個集合必須包含點 (0,0)； поскольку它是開集，它也必須包含 (0,0) 周圍的一個“blob”。無論這個“blob”有多小，它都將包含一些 x 座標為正數且 y 座標為 0 的點，這意味著它將包含 f(x) 圖形的一部分。這意味著，如果我們想斷開這個空間，我們將不得不將 f(x) 圖形的一部分放在一個集合中，另一部分放在另一個集合中。但是沒有辦法分割這個圖形。它是一條連續曲線，所以像實數軸一樣，它是連通的。

為什麼拓撲學家的正弦曲線不是路徑連通的呢？假設您嘗試從 f(x) 圖形上的一個點到達點 (0,0)。您必須沿著圖形朝 (0,0) 方向走，但您會被困住，永遠走不完。你會非常非常接近，但你總會有一條無限長的路在前方。

一個非常相關的空間是閉拓撲學家的正弦曲線。一個閉空間包含其所有邊界點，即任意接近集合中點的點。由於曲線 f(x) 的振盪方式，y 軸上 -1 和 1 之間的所有點都非常接近曲線上的點，因此為了閉合拓撲學家的正弦曲線，我們也將該線段包含進來。這不會破壞其他拓撲性質——它仍然是連通的但不是路徑連通的——但現在它也是閉集了。有些人喜歡這種東西。

如果您以前上過拓撲學課程，您可能已經見過稱為緊緻性的拓撲性質的定義：如果集合的每個開覆蓋都具有有限子覆蓋，則該集合是緊緻的。拓撲學家的正弦曲線不是緊緻的，但閉拓撲學家的正弦曲線是緊緻的。本著讓各處數學教科書都感到沮喪的精神，我給讀者留一個練習：找到拓撲學家的正弦曲線的一個沒有有限子覆蓋的開覆蓋，並弄清楚為什麼這個例子不適用於閉拓撲學家的正弦曲線。將您的答案寫在 [0,1] 區間的閉集、不可數、無處稠密的子集的背面，並將其傳送到 Cantor Plaza，Box Log₂(3)。