2015年12月30日

我最喜歡的空間：三環面

生活在三維環面中將是自戀者的夢想。

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

在《星際迷航：下一代》劇集“寂靜何處”中，“進取號”飛入一個虛空。為了擺脫困境，他們放下了一個固定的信標（先別管信標在太空中保持靜止意味著什麼，或者你如何讓它停留在那裡），以便更好地測量他們走了多遠。當他們飛走時，信標離他們越來越遠，直到開始靠近。最終，他們返回到了他們開始的地方。

“進取號”對虛空進行的探索不足以讓我們確定，但他們很可能意外地漫遊（或者被類神生物納吉拉姆拉入）到了一個三環面中。就像二維環面（可以表示為相對邊粘合在一起的正方形）一樣，三環面可以表示為相對面粘合在一起的立方體。當您向前或向側面移動時，您最終會在立方體的對面重新出現。當您向上移動時，您最終會在立方體的底部重新出現。

三環面的立方體模型。我們想象將匹配的箭頭粘合在一起，因此正面粘合到背面，左側粘合到右側，頂部粘合到底部。圖片來源：UIUC。

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二維環面很容易在許多不同的配置中想象，但三環面更難視覺化。對於二維環面，正方形圖片在某種程度上有所幫助，但甜甜圈圖片讓我更好地感受到生活在環面上會是什麼樣子。對於三環面，我沒有足夠的維度視覺化來像那樣整體地看待它。我可以嘗試透過 mentally 一次粘合一個面。首先，頂面粘合到底面，形成一個具有正方形橫截面的實心環面（基本上是一個正方形甜甜圈）。然後我們將左側粘合到右側，最終看起來像一個內部部分被吞噬的甜甜圈。但下一步是將內部粘合到外部。這在三個維度上效果不太好。

通常，當拓撲學家或幾何學家被問及她的研究的應用時，她會含糊其辭地談論宇宙的形狀，然後試圖用龐加萊圓盤的漂亮圖片來分散對方的注意力。（或者那只是我？）但三環面可能實際上與宇宙的形狀有關。拓撲學和幾何學為我們提供了對所有可能的三維形狀（也稱為三維流形）進行分類的方法。根據我們可以確定宇宙具有的屬性，我們可以縮小宇宙形狀的選擇範圍。

我不是天體物理學家，我也沒有及時瞭解可能幫助我們確定空間形狀的最新測量結果，所以我不知道目前關於宇宙形狀的想法是什麼。但如果它是一個環面呢？三環面的另一種視覺化向我們展示了生活在環面中會有多麼奇怪。

三環面的另一種視覺化。我喜歡稱之為無限腳手架。有關更大的影像，請點選此處。圖片來源：Jeff Weeks。

這個無限腳手架扭曲了三環面的一個重要特徵：三環面是有限的，而這張圖片看起來是無限的。但它更多地揭示了生活在環面中會有多麼令人迷失方向。

再次，讓我們退後一個維度，思考二維環面的類似圖片。這將是平面上的無限網格，而不僅僅是一個正方形。我們只需要記住，平面上兩個不同正方形中相對位置相同的點實際上是同一點。

一個帶有可愛美人痣的環面以三種不同的方式描繪。頂部是作為無限晶格。每個正方形實際上都是同一個正方形。中間只是一個正方形（相對邊在腦海中粘合在一起）。底部是它作為甜甜圈形表面的實現。

如果您生活在環面（二維或三維）中，並從一個點向外看，您的視線可能會在環面上纏繞多次。

從環面中的一個點發出的線，以三種不同的方式描繪。我在二維環面中而不是三環面中繪製了這個，因為我的插圖技巧僅限於此，但您可能能夠想象在三環面的無限腳手架圖片中發生類似的事情。

如果您從三環面中的一個點直視上方，您會看到自己腳的底部。根據您的角度和視覺敏銳度，您的視線理論上可以無限次地纏繞在環面上。如果您環顧四周，您會看到無數個自己的副本。這是自戀者的夢想。

如果我們確實生活在三環面中，當然，它有點太大了，我們看不到自己的後背，這是一種解脫。不過，我想知道我們是否會永遠確切地知道我們居住的流形是什麼。