我最喜歡的空間：偽菱面立方八面體

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

有五個柏拉圖立體。這些最對稱的立體是正四面體、立方體、正八面體、正十二面體和正二十面體，是僅有的凸（沒有指向內部；更像球而不是星星）立體，其面都是全等的正多邊形。正四面體、正八面體和正二十面體由等邊三角形構成（每個頂點分別有三個、四個或五個三角形），立方體由正方形構成，正十二面體由正五邊形構成。

柏拉圖立體很可愛，但數量有限。一旦你找到了它們，你的大腦自然會開始詢問還有哪些仍然相當規則和對稱的立體。你可能會想到下一個稜柱和反稜柱，但老實說，它們可能有點乏味。 

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阿基米德立體更加有趣。在這裡，面仍然是正多邊形——等邊三角形、正方形、正五邊形等等——但它們會將兩種或多種形狀混合在一起。為了獲得最大的規則性（這是什麼，酸奶廣告？），我們仍然要求所有頂點看起來都相同。如果一個頂點周圍的形狀是三角形-五邊形-三角形-五邊形交替，那麼它們都是這樣。

如果你坐下來，拿著一堆多邊形，這些規則，以及大量的耐心，你會發現 14 種符合條件的立體。（如果你偶然發現任何近似值，你甚至可能會發現一些額外的立體。）但阿基米德最初的清單上只有 13 種，數學家們在很大程度上同意他的清單，並使用阿基米德立體的定義，其中僅包括這 13 種。

不屬於這個範疇的立體被稱為伸長型正方形雙圓頂或偽菱面立方八面體（立體的名稱非常複雜）。

偽菱面立方八面體，我將在下文中稱之為 ψρ（“psi-rho”），有 24 個頂點，每個頂點周圍有三個正方形和一個等邊三角形。它是菱面立方八面體的近親，菱面立方八面體也是阿基米德立體，也有 24 個頂點，每個頂點周圍有三個正方形和一個等邊三角形。

要從菱面立方八面體獲得 ψρ，你可以分離底部部分（恰好是一個稱為正方形圓頂的形狀），並將其旋轉整整八分之一圈。

菱面立方八面體是阿基米德立體，而 ψρ 則不是。兩者都是由正多邊形制成的凸立體，並且在兩者中，每個頂點都由三個正方形和一個三角形包圍。但菱面立方八面體具有 ψρ 不具備的屬性。你可以選擇菱面立方八面體上的任意兩個頂點，並執行物件的旋轉，將第一個頂點移動到第二個頂點。這比立方體或正四面體更難視覺化，但原理相同。如果你用 ψρ 嘗試同樣的操作，它就不會完全起作用。起初不容易看出來，但對我幫助最大的描述是將上圖赤道沿線的八個正方形想象成一條帶子。在菱面立方八面體中，還有其他方向的類似八個正方形的帶子；在 ψρ 中，只有一條帶子。八分之一的扭曲用三角形中斷了其他正方形帶。

ψρ 是唯一一個具有看起來都相同的頂點，但未能具有將每個頂點移動到任何其他頂點的完整物件對稱性的凸多面體，使其成為唯一的凸偽均勻多面體。在這個類別中，它有一個非凸的同伴。我應該注意到，雖然大多數數學家都同意阿基米德這個術語應該僅指阿基米德列出的 13 個多面體，即滿足全域性對稱條件的多面體，但也有不同意見者。閱讀布蘭科·格林鮑姆的文章“一個持久的錯誤”以瞭解該觀點。

當我思考 ψρ 時，我發現自己屈服於那種過於人性化的擬人化誘惑。我將 ψρ 想象成一個被排斥的人。他們試圖融入，拋光他們的面，磨尖他們的頂點，試圖和他們更完美的兄弟姐妹菱面立方八面體，甚至笨拙的截角四面體一起坐在午餐桌旁。但他們就是無法融入。又經歷了屈辱的一天後，他們對著鏡子看著自己，雨水從他們身後的窗戶上滴落，映照出他們的眼淚。“為什麼是我？”他們問道。“我的父母試圖透過談論醜小鴨來安慰我，但我沒有完美的立體可以成長為！”他們不知道約翰遜家族一直在尋找一個出生時失蹤的多面體。現在我們已經從漢斯·克里斯蒂安·安徒生轉向牛奶盒上的臉。

但也許我的性格描述是錯誤的。ψρ 是班級小丑，嘲笑那些認為自己已經弄清楚一切的人嗎？或者他們是勇敢的夢想家，他們推動了界限，並教會我們什麼是可能的，是在灰色工業反烏托邦中教導我們不必如此的無畏、色彩鮮明的個體嗎？在我的世界裡，我認為 ψρ 更傾向於小丑。就在你認為你可以對阿基米德立體給出簡短、簡單的解釋時，你必須開始描述一個技術條件，而這個條件僅僅是因為這個例子才是必要的！我彷彿看到了 ψρ 在竊笑，等待我落入陷阱，這樣他們就可以爆發出來，大喊一聲：“抓到你了！”

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