本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
我在巴黎，在街道上漫步街道以女數學家的名字命名，並且越來越接近瑪麗·居里，這一切都因為法國數學家亨利·龐加萊。我的配偶目前正在亨利·龐加萊研究所工作，我隨行而來。自從來到這裡，我就一直想寫一篇關於龐加萊同調球面的文章來紀念他，但每次嘗試都感到難以承受，結果我寫了其他的東西。
至少有八種定義龐加萊同調球面（pdf）的方法，其中至少有七種需要大量的精妙數學工具才能理解。它們都指向相同的空間，但空間不同定義之間的聯絡很難看清。我不想永遠推遲寫龐加萊同調球面，所以我打算直接開始。但是，我不打算立即描述這個空間，而是要告訴你我為什麼關心它。
拓撲學——以及一般數學——的核心主題是確定兩個空間是否相同。拓撲上的相同性是相當寬鬆的。如果你可以透過拉伸或擠壓將一個空間變成另一個空間，只要你不撕裂或粘合任何東西，那麼這兩個空間在拓撲上是等價的。正如笑話所說，拓撲學家無法區分咖啡杯和甜甜圈，因為它們都只有一個孔，如果你把杯子中盛放液體的部分向下擠壓，你就可以把咖啡杯變成一個不太美味的甜甜圈。
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評估拓撲等價性可能很困難，因為它非常靈活。僅僅因為你沒有立即看到將一個形狀擠壓成另一個形狀的方法，並不意味著你最終找不到。拉伸和擠壓任何形狀的方法有無數種，你不可能嘗試所有的方法來弄清楚兩個空間是否等價。如果你認為這個問題在三維空間中可能很困難，想象一下你正在嘗試評估兩個無法視覺化的、高維物體的拓撲等價性。直覺可能幫不了你太多。
早期的拓撲學家想要嘗試找到區分空間的方法，透過尋找不變數：可以分配給每個空間的數字或其他數學物件。理想情況下，具有相同不變數的兩個空間將是相同的空間，而具有不同不變數的兩個空間將是不同的空間。龐加萊提出了貝蒂數，這是一種非正式的方式來編目空間中不同維度的孔，以及撓係數，它在某種程度上跟蹤了扭曲度。在 1900 年的一篇論文中，龐加萊推測這些貝蒂數和撓係數（今天也稱為同調）可以告訴你一個空間是否是球面。
幾年後，龐加萊表明他錯了。他提出了第一個所謂的同調球面：與球面具有相同同調，但在拓撲上不等價於球面的空間。
當我說球面時，你可能會想到沙灘球，但是每個維度都有球面，龐加萊特別研究的是 3 維球面，它自然地位於 4 維空間中。（數學家將沙灘球描述為 2 維球面，因為生活在其表面上的微小生物會感覺自己生活在二維平面上。）
龐加萊對同調球面的發現促使他完善了他的猜想，即現在所知的龐加萊猜想。他添加了另一個不變數，稱為基本群，並認為如果流形具有與球面相同的同調和基本群*，它必須是球面。龐加萊使用同調球面的基本群來證明它在拓撲上與球面不同。
龐加萊猜想是 2006 年最終被證明的最重要的未解決猜想之一，俄羅斯數學家格里戈裡·佩雷爾曼完成了證明的最後潤色。（他因此問題成為千禧年大獎難題之一而聞名地拒絕了百萬美元的賞金。事實上，他拒絕的獎金目前正在資助將我的配偶帶到亨利·龐加萊研究所的專案。）龐加萊猜想的解決是 21 世紀迄今為止最重要的數學突破。
因此，龐加萊同調球面是過去 100 年來最引人入勝的數學研究領域之一故事中的重要人物。但它到底是什麼？龐加萊最初定義同調球面的方法是透過一種稱為 Heegaard 分解的技術。它基本上涉及觀察兩個實心的雙孔甜甜圈，並以仔細規定的方式將它們粘合在一起。這篇文章頂部的圖表來自他 1904 年首次描述它的論文。現在，一種更廣為人知的定義它的方法是從十二面體開始，十二面體是由十二個五邊形組成的形狀。（根據我的經驗，如果你提到龐加萊同調球面，數學家會想到這個。）我不想重新發明輪子，我將把你推薦到 Yen Duong 在 Baking and Math 上的部落格文章（第 1 部分，第 2 部分）。
對於那些具有廣泛數學背景並想更多瞭解龐加萊同調球面的人，在 Manifold Atlas 上有一篇 Klaus Volkert 的優秀文章Klaus Volkert at the Manifold Atlas，以及（法語）網站Analysis Situs上的一個頁面，該網站專注於龐加萊的基礎論文。
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*此句在釋出後已更正。