2016年8月19日

我最喜歡的空間：四個霍普夫連結的連通和

奧林匹克環的數學

作者：伊芙琳·蘭姆

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

它是國際公認的團結、健康競爭、運動能力以及名叫西蒙娜的人們的卓越的象徵。但現在進入重要的部分：關於奧林匹克環，有什麼數學上有趣的地方嗎？

既有又沒有。奧林匹克環標誌是由五個環組成的鏈條，每個環都連線到一個或兩個相鄰環。我們將前往結理論的世界，以弄清楚如何對其進行數學分析。

數學上的結幾乎就像你在鞋帶或帆船索具上打的結，但鬆散的末端融合在一起。那麼，圓圈就是一個結，但它不是一個非常引人注目的結。它，以及任何你可以透過在不切割或粘合的情況下襬弄它而得到的東西，都稱為無結。

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像奧林匹克環這樣的物體的技術術語是鏈環：它是一堆以某種方式相互作用的結。彼此相鄰放置、禮貌地不接觸的兩個圓圈，在技術上是一個鏈環，但再次不是一個非常引人注目的鏈環。它們將被稱為平凡鏈環。

最簡單的有趣鏈環是霍普夫鏈環：兩個相互鎖釦的圓圈。

奧林匹克環有點像霍普夫鏈環，但更長。在某種程度上，這使得它們不那麼有趣，因為從較小的部分構建它們相對容易。為了使這個想法更精確，我們可以定義一個稱為素鏈環的東西。（素結的定義類似，但我們將只關注鏈環，因為奧林匹克環形成一個鏈環。）

素數，那些大於 1 且只能被自身和 1 整除的整數，可以被認為是所有其他整數的構建塊，因為你可以將一個整數分解成其素數因子。同樣，鏈環也可以分解為素鏈環。與其定義素鏈環，不如定義一個非素鏈環更容易。我們使用稱為連通（有時稱為連線）和的運算來做到這一點，該運算描述了我們如何從舊的結和鏈環構建新的結和鏈環。為了形成兩個鏈環的連通和，你從每個鏈環中切出一個線段，然後重新粘合它們，使它們粘合在一起。一個不能由兩個或多個非平凡鏈環構建的鏈環稱為素鏈環。

為了瞭解連通和如何工作，我們將看看兩個霍普夫鏈環的連通和如何給我們一個由三個相連的環組成的鏈條。在步驟 1 中，兩個霍普夫鏈環彼此靠近。

在步驟 2 中，它們開啟。

在步驟 3 中，兩個開啟的環彼此相遇。

現在，中間的兩個環（此處以銀色顯示）是連線的，因此從拓撲學的角度來看，它們已經融合成為一個環。因此，在最後一步中，我們用一個拓撲等價的環替換這兩個環。

步驟 4：成功！兩個霍普夫鏈環已融合成為一個由三個環組成的鏈條。圖片來源：伊芙琳·蘭姆

你可以不斷地將霍普夫鏈環連通相加在一起，以獲得鏈環中你想要的任意數量的環。一個類似的鏈環，其中有n個環，需要n-1個霍普夫鏈環的副本才能製成，因此奧林匹克環是四個霍普夫鏈環的連通和。

人類種族最佳象徵竟然不是素鏈環，這似乎有點令人失望。所以我問了澳大利亞莫納什大學的數學家傑西卡·珀塞爾，她是否對更好的五環鏈環有任何建議，以便國際奧委會可以採納一個數學上更令人滿意的符號（如果他們有此意向的話）。她建議了最小扭曲 5 鏈環，她將其描述為她的最愛之一。這很拗口，但一張圖片會有所幫助。

基本上，你將四個霍普夫鏈環的連通和的兩端連線在一起，你就得到了它。你必須稍微小心，以使交叉點完全正確，但這並不難做到。（你可以在本文第 2 頁上看到該鏈環的圖示。）

為什麼最小扭曲 5 鏈環如此出色？嗯，首先它是素的，所以它有其自身的優點，不像當前的符號，它是從較小的鏈環構建起來的。珀塞爾告訴我的另一個原因是結和鏈環與三維空間（也稱為三維流形）的關係。事實上，數學家研究結和鏈環的原因之一不是為了它們本身，而是因為這些空間，稱為結或鏈環補空間。

結和鏈環如何與三維流形聯絡起來（雙關語！）？你拿起你的結或鏈環，用繩子或活頁夾環或其他東西製成，並想象將其從三維空間中移除*。結理論家有時稱之為從空間中“鑽出”。剩餘的流形稱為結或鏈環補空間。例如，如果你戴著戒指，你可以將戒指的補空間想象為一些三維空間減去你的戒指。拓撲學家通常關心你可以在一個空間中製作多少個根本不同的環路，他們發現減去戒指的空間比空間本身更有趣。那是因為在更大的空間中，每個環路基本上都與其他每個環路相同。你可以只是滑動和拉伸一個環路到另一個環路，而無需切割或撕裂任何東西。

對於更復雜的結和鏈環，補空間變得比戒指的補空間更有趣。珀塞爾告訴我，她喜歡最小扭曲 5 鏈環，部分原因是它的補空間。如果你想從幾何上研究它，你可以用 10 個稱為正理想雙曲四面體的形狀來構建它。這意味著，稍微發揮一下詩意，你可以用 10 個里約 2016 年奧運會標誌的副本（在拓撲學上等價於四面體的邊）來製作它。

珀塞爾向我保證，可以從正理想雙曲四面體構建的流形確實非常特殊。完全瞭解這意味著什麼不會在這篇博文中發生，但如果您想更進一步，她有一些關於雙曲結理論的講義。

如果您想知道，最小扭曲 5 鏈環的補空間比當前奧林匹克環的補空間好得多，後者基於霍普夫鏈環的補空間。霍普夫鏈環的補空間具有歐幾里得幾何，或者當我感覺不尊重數千年的數學傳統時，我喜歡稱之為催眠歐幾里得幾何。我寧願選擇雙曲幾何而不是歐幾里得幾何！

*如果你特別一絲不苟，你可能會指出我在這裡撒了一個小謊。一個無限、無界的三維流形，移除一個小結有點笨拙，所以數學家實際上不是從無限三維空間開始，而是想象將其從稱為三維球面，或 S³的東西中移除。它類似於圓圈或球體，但維度高一個維度。

如果這令人困惑，請不要太擔心。如果你認為從普通三維空間而不是三維球面中移除它，沒有人會向數學警察舉報你。數學家這樣做是有充分理由的：處理有限或有界空間比處理無限空間容易得多。（就像二維球面或沙灘球表面一樣，三維球面具有有限半徑。）但是就想象結補空間而言，如果我考慮從普通三維空間而不是三維球面中移除結，我發現它更容易視覺化。

感謝戴夫·富特、傑西卡·珀塞爾和迪倫·瑟斯頓向我提供了一些結理論知識。