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上週，在抗衰老研究公司Sens工作的生物學家奧布里·德·格雷報告說，他在大約60年來首次在哈德維格-尼爾森問題（也稱為平面著色數問題）上取得了突破。
平面著色數是給平面上所有點著色所需的最小顏色數，以便沒有兩個正好相隔一個單位的點具有相同的顏色。自從這個問題被提出以來，數學家們就知道這個數字在四到七之間。德·格雷最近的論文表明，至少需要五種顏色，從而提高了下限。我為Quanta Magazine撰寫了關於這個問題和最近進展的文章。
德·格雷透過找到一個具有單位長度邊（或單位距離圖）的圖，證明了平面著色數必須至少為五，該圖需要五種顏色。為此，他從一個名為莫澤紡錘體的小圖開始。
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莫澤紡錘體有七個點，可以放置成其 11 條邊都具有相同的長度，使其成為單位距離圖。需要四種顏色來確保莫澤紡錘體的任何兩條邊都不會連線兩個顏色相同的點，這使得四成為哈德維格-尼爾森問題的下限。莫澤這個名字來源於利奧·莫澤和威廉·莫澤兄弟，他們也是數學家，並在 1961 年撰寫了關於平面著色數的文章。
為了找到他最初的不可四著色圖，德·格雷決定嘗試組裝具有大量邊和莫澤紡錘體的圖，看看他是否最終可以對著色施加足夠的約束，以至於找不到四著色。它奏效了！莫澤紡錘體——以及大量的聰明才智和好運——幫助他找到了一個不可四著色圖。
但我喜歡莫澤紡錘體不僅僅是因為它是一個優雅、有用的圖，用於解決哈德維格-尼爾森問題。它也是一個可以用來研究四色定理的例子，四色定理是另一個與圖著色相關的問題。
四色定理指出，平面或地球儀上的任何地圖都可以著色，以便沒有兩個共享邊界的國傢俱有相同的顏色。（儘管這個問題是用製圖學的語言提出的，但製圖師們集體打了個哈欠。他們在繪製地圖時通常不會約束自己那麼多，並且對著色的理論數學約束並不特別感興趣。）用圖論的語言來說，四色定理指出，每個平面圖的頂點都可以使用四種顏色著色，以便沒有兩個相鄰的頂點具有相同的顏色。
乍一看，您可能會想知道為什麼哈德維格-尼爾森問題與四色定理不同，甚至比四色定理更容易。畢竟，這兩個問題都涉及平面中的圖。令人困惑的是，平面中存在非平面圖。平面圖不是您可以在平面上繪製的任何舊圖，而是您可以在平面上繪製的邊不交叉的圖。
K5，即 5 個頂點的完全圖，是非平面圖。你能否說服自己，沒有辦法在平面上擺動這些邊，使它們不交叉？致謝：Koko90 Wikimedia (CC BY-SA 3.0)
莫澤紡錘體也是一個平面圖，因此它也可以用來證明平面圖著色需要四種顏色。 現在我故意有點調皮了。這篇文章頂部的莫澤紡錘體的圖片不是平面圖。有四個地方邊交叉，你無法在保持邊長的同時解開它們。因此，莫澤紡錘體既是單位距離圖又是平面圖，但不是同時！我認為這是一個極好的數學玩笑。（順便說一句，既是單位距離圖又是平面圖的圖稱為火柴棍圖，因為您可以使用火柴在桌子上組裝它。）
莫澤紡錘體作為平面圖。邊不再交叉，但其中一條邊現在比其他邊長得多。致謝：David Eppstein Wikimedia (CC0 1.0)
每當我聽到“紡錘體”這個詞時，舒伯特的歌曲《紡車旁的格麗卿》（Gretchen at the Spinning-Wheel）就會在我腦海中響起。我想不出一個可愛的方式將這首歌融入到一篇關於莫澤紡錘體的文章中，但這並不意味著您應該被剝奪聆聽無與倫比的傑西·諾曼演唱這首歌的樂趣。
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