2016年1月31日

我最喜歡的空間：莫比烏斯帶

認識一下莫比烏斯帶，這個具有最令人心酸的敘事潛力的拓撲空間。

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

如果你經常和數學家混在一起，或者參加數學推廣活動，你可能見過莫比烏斯帶。它在流行數學界佔有特殊的地位，因為它易於製作，玩起來有趣，並且蘊含著一些令人驚訝的數學秘密。

你可以在自己舒適的家中製作莫比烏斯帶，方法是取一條紙帶或義大利麵團，在其中扭轉半圈，然後用膠帶（紙）或擠壓（麵糰）將兩端粘在一起。它就像一個圓柱體，但有點偏離。如果你是編織或鉤針愛好者，你也許可以製作一個可穿戴的。

我們經常使用莫比烏斯帶來解釋可定向性的拓撲性質。可定向性是那種你看到時就知道，但又有點難以定義的東西。我不記得我盯著教科書中關於定向的定義看了多少次：“區域性定向的連續選擇。” 我發現這個解釋非常沒有幫助。為什麼“定向”這個詞的定義會包含“定向”這個詞呢？

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理解可定向性的更直觀的方法，至少對於三維空間中的二維物體而言，是如果一個空間是可定向的，那麼你可以在表面上的每個點選擇“向內”和“向外”或“向上”和“向下”的方向，並且這些方向是相容的：你永遠不會意外地最終到達同一點，但“向上”卻翻轉成了“向下”。

也許最直觀的理解方式就是玩弄一個球體或圓柱體，以及一個莫比烏斯帶。例如，如果你使用一個球體，在北極你可以宣告“向外”方向指向正上方。當你繞著球體移動時，“向外”方向仍然指向球體外。相反，嘗試在莫比烏斯帶上選擇“向上”和“向下”。當你沿著帶子滑動時，你最終會回到你開始的同一點，但“向上”已經變成了“向下”。儘管你是用正面和背面都正常的紙張製作的，但你已經失去了側面性。你可以透過直線移動而不是翻轉紙張，從紙張的正面到達背面。

莫比烏斯帶中蘊含著許多數學上的奇妙之處。一個經典的活動是將它切成兩半，看看你會得到什麼。如果是三分之一呢？如果你在其中加入一些額外的半扭呢？這是一個更適合在家中或與你的女童子軍一起進行的活動，而不是在部落格上閱讀。

我最近了解到的莫比烏斯帶的性質是六色定理。你可能聽說過四色定理：任何地圖都可以用四種不同的顏色著色，以使任何相鄰的國家都不共享顏色。這個定理如所述並不完全正確。我們需要指定地圖是在球面或平面上。不同的表面有不同的___色地圖定理，對於莫比烏斯帶，它是六色地圖定理。

為了使這個定理成立，請記住莫比烏斯帶，像任何好的數學物件一樣，是一個理想化的生物，無法生活在我們混亂的現實世界中。它是二維的，而不是像實際的紙張那樣是三維的。正面和背面之間沒有任何厚度分隔。為了視覺化這一點，你可能想用透明膠片製作你的莫比烏斯帶。這樣，當你繪製地圖時，你就不能在任何一個點將紙張的兩面塗成不同的顏色。如果你在一張紙的兩面繪製地圖，然後用它製作莫比烏斯帶，那麼將應用來自平面的四色定理。

這裡我有一張莫比烏斯帶上需要六種顏色的地圖的小圖片。在你的電腦螢幕上可能很難看到，所以與其相信我的話，不如在家一起玩一下。

莫比烏斯帶對藝術家和數學家都很有吸引力。你可以製作或購買莫比烏斯帶圍巾、吊墜和戒指。你可以演奏莫比烏斯音樂。它的敘事潛力是顯而易見的：你圍繞著某物旅行，最終回到你開始的地方，但卻迷失了方向。向上變成了向下，向內變成了向外。也許莫比烏斯帶作為敘事工具最美麗的運用是維·哈特的感人故事《風和烏格先生》，講述了兩個似乎無法親自見面的朋友。