我最喜歡的一些空間：門格海綿

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

我最近整理了我的辦公室，所以一些數學物件和我一起回家了：一個有兩個房間的房子，一個摺紙反例，一些英國的定寬物體。還有我們上次建造門格海綿時剩下的東西。

感謝Megamenger，這是一項在全球範圍內構建巨型分形的世界性努力，門格海綿將永遠是我最喜歡的分形之一。你可以透過取一個實心立方體並在一個面的中心鑽一個方孔穿透到另一側來製作門格海綿。現在對其餘面再做兩次。(擔心鑽方孔？勒洛三角形會派上用場。) 你現在已經完成了一級門格海綿，剩下的東西看起來像一個去掉了許多立方體的魔方。

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為了繼續門格化，您需要像第一次那樣在所有剩餘的立方體上鑽方孔。然後在剩餘的立方體上鑽方孔，依此類推。像康託集或沃利斯篩一樣，我之前寫過關於它們的文章，實際製作這個物體的唯一障礙是您必須永遠重複構造過程。

在 Megamenger 中，每個小組不是透過鑽孔和移除來製作物體，而是從頭開始構建它。我們用六張名片製作了 20 個小立方體，將它們組裝成一個帶孔的立方體，並取 20 個這樣的立方體來製作一個更大的立方體。組裝細節可在Megamenger 網站上找到。

我現在想寫關於門格海綿的原因是因為它是 2.7268(左右)維的。本月早些時候，我寫了關於維度的文章。您可以閱讀我關於它的帖子，但基本思想是將維度與用於測量或標記事物的座標數量聯絡起來。這種維度始終是整數。分形確實具有傳統意義上的維度，但它們是如此令人費解的生物，以至於人們不得不提出維度的新定義來充分描述它們。

問題是：門格海綿具有無限的表面積，但體積為零。如果我們用二維來測量它，它太大了，但如果我們用三維來測量它，它又太小了。相比之下，讓我們考慮一下二維平面中的 1×1 實心正方形。它的長度是無限的：有無限多個 1 單位線段是這個正方形的一部分。它的面積是 1 平方單位，體積是 0，因為它沒有深度。在這個例子中，它在一個維度上具有無限大小，在一個維度上具有零大小，在一個維度上具有可測量的大小。這就像金髮姑娘。二維平面非常適合測量實心正方形。

對於門格海綿，二維空間太小，三維空間太大。是否可能存在介於兩者之間的某個數字，對於門格海綿來說“恰到好處”？

存在！為了弄清楚如何找到它，我們需要創造性地思考維度。除了座標數量之外，還有哪些特徵定義了維度？一個是縮放。冒著成為顯而易見先生的風險，讓我們從小處著手。在一維空間中，如果您將物體的長度增加三倍，則該物體會變為原來的三倍長。在二維空間中，如果您將物體在每個方向上的長度增加三倍——例如，將矩形的長和寬都增加三倍——則物體會變為原來的九倍大。等效地，需要九個小正方形才能製作一個邊長為三倍的正方形。在三維空間中，如果您將立方體的長度、寬度和高度都增加三倍，它會變為原來的 27 倍大。需要 27 個小立方體才能製作一個邊長為三倍的立方體。我們在這裡可以看到一個模式。數字 3、9、27 也可以寫成 3¹、3²、3³——維度是我們將比例因子提高到以獲得新大小的冪。

現在我們可以看到為什麼門格海綿不能完全作為二維或三維物體工作。當我們按三倍的比例拉伸門格海綿的每一側時，我們會得到 20 個門格海綿的副本，因此我們將其尺寸放大了 20 倍。另一種思考方式是，僅需要 20 個立方體來構建一級門格海綿，而需要 20 個一級門格海綿來構建二級門格海綿。但是二級門格海綿的邊長是一級的邊長的三倍。

因為我們可以將數字提高到非整數冪，所以我們可以使用縮放來理解維度對於像門格海綿這樣的物體可能意味著什麼，這些物體的縮放方式不像實心立方體這樣的整數維度物體那樣。維度是我們將比例因子提高到以獲得新尺寸的冪。對於門格海綿，其維度d是求解方程 3^d=20 的數字。數字 2.7268 差不多可以做到。(精確答案是 log₃20 或 log(20)/log(3).)

如果一篇關於門格海綿和分形維度的文章沒有為您提供一個可以深入研究的兔子洞，那將是一種遺憾，所以這裡有：按豪斯多夫維度列出的分形維基百科列表。不用客氣！

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