2016年2月12日

我最喜歡的幾個空間：長線

“我對你的愛就像長線一樣——在大多數方面都類似於真正的愛，只是更長。” 認識一下拓撲空間中俗氣的 Valentine's Day 卡片。

作者：Evelyn Lamb

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

我必須承認，我曾經對長線感到一種模糊的敵意。但在看到 Mike Lawler 的這條推文後，我決定再給它一次機會

我對你的愛就像長線一樣——在大多數方面都類似於真正的愛，只是更長。#inspirationaltopology

— Mike Lawler (@mikeandallie) 2015年9月2日

換句話說，長線是拓撲空間中俗氣的 Valentine's Day 卡片，如果有什麼我可以支援的，那就是在數學中尋找愛，最好是以最俗氣的方式。

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顧名思義，長線真的是一條很長的線，在某種程度上比普通的數軸“更長”。我們可以將普通的數軸視為一堆首尾相連的單位長度區間。具體來說，每個整數都有一個區間。長線也是一樣，只不過每個實數都有一個區間。

至少如果那是真的就好了。但事實更奇怪，它會帶我們踏上一些集合論和無限複雜性的旅程，許多人聲稱這些複雜性讓 Georg Cantor 發瘋。警告過了。

為了定義長線，我們需要談談不同大小的無限。當數學家談論大小或基數時，他們使用雙射的概念：如果可以將第一個集合中的每個元素與第二個集合中的恰好一個元素配對，反之亦然，則兩個集合的大小相同。換句話說，我們不用數手指，而是將我們的兩個拇指、兩個食指等對齊，以得出結論，我們的雙手都有相同數量的手指。

當我們談到無限集時，會發生奇怪的事情。整數的數量與偶整數的數量相同，即使（呵呵）偶整數是整數的子集。我們可以將所有整數排列在左側，將偶整數排列在右側，並將它們配對，以便左側的數字n與右側的2n配對。我們找到了一個雙射，所以這兩個集合的大小相同。另一方面，對於有限集，您無法在集合及其子集之間找到雙射。

所有實數的集合可以證明比整數集合更大，所以我們知道至少有兩種不同大小的無限。事實上，有一種從較小的無限獲得更大的無限的方法，所以我們可以僅從整數的無限（稱為可數無限）開始生成無限的無限。

這與長線有什麼關係？長線實際上並沒有定義為每個實數的一個單位長度區間的串聯。相反，我們找到最小的不可數無限，並將那麼多區間串在一起。

在這一點上，我們直接遇到了連續統假設。連續統假設指出，實數的無限是最小的不可數無限。因此，如果實數的基數是最小的不可數無限，那麼我對長線的最初描述就足夠準確了。如果不是，則在整數和實數之間存在一些無限，並且長線是使用該無限而不是實數無限制成的。（有關連續統假設和長線的更多資訊，請檢視 Richard Koch 的這篇 pdf。）

那麼連續統假設是真的嗎？好訊息：你可以選擇任何一種！ 1963年，Paul Cohen 證明連續統假設不違反構成數學基礎的 Zermelo-Fraenkel 公理。連續統假設的否定也不違反這些公理。換句話說，連續統假設獨立於數學基礎。您無法使用數學的其他公理來證明它或其否定。有些人認為這意味著我們尚未找到正確的基礎，但我傾向於同情那些認為這意味著我們有權在不同的有效系統之間進行選擇的人。

無論我們是否決定接受連續統假設，我們都有很多長線需要處理。它有什麼用？像我的許多其他喜歡的空間一樣，它是一個反例，一個被虛構出來的空間，旨在準確地展示您可以在哪裡破壞您最喜歡的數學工具。在這種情況下，長線向我們展示了擁有太多好東西的危險。基本上，長線太大了，無法進行微積分運算。

由於一些非常技術性的原因，尤其是在您剛剛絞盡腦汁思考最小的不可數無限之後，在滿足以下三個條件的空間上進行微積分運算更容易：它們在區域性“看起來”像某種維度的歐幾里得空間；它們是 Hausdorff，這意味著您可以區分其中的點；並且它們是第二可數的，這意味著您可以從少量（即可數）的集合構建空間。長線違反了最後一個要求。即使您可能認為它基本上與實線相同，但僅僅因為它太長，它就具有根本的區別。

當您想到長線時，“我該如何愛你？讓我細數……”聽起來並沒有那麼令人印象深刻。 “我該如何愛你？我無法細數，因為就像構建長線的集合一樣，它們是真正不可數的”是一種更浪漫，但不太詩意的表達愛意的方式。