2015年8月31日

我最喜歡的一些空間：具有兩個原點的直線

這條被證明無法繪製的具有兩個原點的直線，闡釋了一個簡單但重要的拓撲性質

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

你即將搬家，需要租一套未看過的公寓。你在網上搜索，打了一些電話，最終確定了一套看起來完美的公寓。然而，當你到達你的新家時，總感覺有些…不對勁。事實上，一切都不對勁。它沒有電。你回頭看廣告，果然，它沒有明確說明公寓有電，但你沒想到需要問。

對於許多數學家來說，豪斯多夫性質就像公寓裡有電一樣。當然，你可以構建一個沒有它的空間，但你總是會想當然地認為它應該存在。在沒有豪斯多夫性質的情況下進行拓撲學研究，感覺就像在黑暗中摸索。

豪斯多夫性質，以德國數學家費利克斯·豪斯多夫的名字命名，是數學空間中與分離相關的眾多條件之一：空間中的點彼此之間可以分離到什麼程度？如果對於空間中任意兩個不同的點，你可以將它們放入不相交的開集中，則該空間是豪斯多夫空間。開集是拓撲空間中的基本單位，你可以在我的最新文章中閱讀有關它們為什麼重要的內容。

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要了解豪斯多夫性質的重要性，請思考它對於一些熟悉的空間意味著什麼，例如，實數線。實數線中的開集只是像 (0,1) 這樣的開區間。實數線上的任意兩點，無論它們多麼接近，都由一定的距離分隔開，因此透過找到足夠小的開區間，你可以將這些點放入兩個不重疊的區間中。

其他熟悉的空間，如歐幾里得平面或三維空間，也具有這種性質。很難想象一個不具有這種性質的空間。這就是具有兩個原點的直線出現的原因。它是最簡單的非豪斯多夫空間之一。

為了構造具有兩個原點的直線，我們從兩條數軸開始。我們可以透過命名這兩條線來標記點，並將第一條線上的點 x 稱為 (x,0)，第二條線上的點 x 稱為 (x,1)。現在我們宣告，除非 x=0，否則點 (x,0) 和 (x,1) 是同一點。我們還決定，該空間繼承了我們開始使用的兩條實數線的標準拓撲，因此該空間中的開集只是開區間。

你可能會反對我們僅僅決定這兩個點是相同的，但進行拓撲學研究通常意味著你可以制定規則。我們一直與歐亞國交戰，並且 (1,0) 與 (1,1) 相同。

具有兩個原點的直線的另一個圖示。在這個圖中，我們必須假裝紅點和黃點一起坐在藍線上。

你能明白為什麼具有兩個原點的直線不是豪斯多夫空間嗎？毫不奇怪，正是定義中“除非 x=0”的部分導致了這種情況。任何包含 (0,0)（第一條數軸上的原點）的開區間，都將與任何包含 (0,1)（第二條數軸上的原點）的開區間重疊，因為第一條數軸上的幾乎所有點都與第二條數軸上的點相同。

雖然我在這篇文章中包含了一些插圖，但很難繪製具有兩個原點的直線的影像。事實上，數學上可以證明繪製具有兩個原點的直線是不可能的，這也是豪斯多夫性質重要的原因之一。豪斯多夫性質不保證數學空間易於繪製（參見康託的漏帳篷），但它確實保證了該空間可以以良好行為的方式嵌入到某個歐幾里得空間中，也許是高維空間中。。具有兩個原點的直線無法以真正展示其本質的方式嵌入到任何歐幾里得空間中。相反，我們必須在紙上或電腦螢幕上丟擲一些線條和點，並希望我們的觀眾能理解我們的意思。