2017年11月30日

我最喜歡的幾個空間：科赫雪花

最具節日氣氛的分形一覽

科赫雪花可以平鋪平面。它是您節日包裝紙或餅乾的完美圖案！

大衛·愛潑斯坦 *維基共享資源*

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點。

如果你曾在數學課上塗鴉，你可能偶然發現了科赫雪花。你可以從一個等邊三角形開始製作它。然後取六個等邊三角形，每個三角形的大小是原始三角形的 1/3，並將它們粘在每條邊的中間三分之一處。現在沖洗並重復。再重複。再重複，直到永遠。

科赫雪花構造過程中的幾次迭代。圖片來源：安東尼奧·米格爾·德·坎波斯 *維基共享資源*

法語使用者（或者像我這樣法語半吊子的人）可以線上免費閱讀海爾格·馮·科赫於 1904 年發表的論文，其中首次出現了科赫曲線。（科赫曲線是科赫雪花的一側；換句話說，你可以透過將三條科赫曲線粘在一起得到一個科赫雪花。）馮·科赫發明這條曲線是為了更直觀、更直接地說明卡爾·魏爾斯特拉斯在幾十年前記錄的一種現象。這一切都歸結為切線。光滑曲線有切線——在某一點接觸函式並指向曲線在該特定點方向的直線。

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在魏爾斯特拉斯發現他的“怪物”之前，一些數學家假設，如果一個函式是連續的——沒有大的跳躍或間斷——那麼它幾乎處處都有切線。可能這裡或那裡會有奇怪的角或尖點，但它們是孤立的。基本上，一個函式不可能處處都是角。魏爾斯特拉斯找到了反例，但它們很難理解和想象。科赫曲線在任何地方也沒有切線，但馮·科赫的幾何構造使其更容易理解。你在任何地方新增一個尖峰，你都在新增一個角。並且沒有不帶尖峰的線段。這個例子更具體，而且作為獎勵，放在謝爾賓斯基聖誕樹頂上非常漂亮。

像許多分形一樣，科赫雪花突破了我們對維度的常規概念。雪花的邊界既不是完全一維的，也不是完全二維的。它具有無限的長度，你可以透過注意到我們在每次迭代中將曲線的總長度乘以 4/3 來看到這一點，而無限多個 4/3 的乘積不是有限的。但它沒有面積。（指的是邊界。科赫雪花的內部是二維的，並且具有明確定義的面積。）

巧合的是，當我正在寫這篇文章時，我的朋友，布朗大學的數學家凱蒂·曼恩，分享了科赫雪花的一個重要的實際應用：科赫山核桃派。在Instructables 網站上，查爾斯·福爾克斯描述並記錄了他製作巨型科赫山核桃派的冒險經歷。（如果我的粗略計算是正確的，它包含大約 5 打雞蛋和 10 磅山核桃！）他指出，如果你製作一個半徑非常大的傳統圓形餡餅 R，“餡料的量與 R² 成正比，而餡餅皮僅線性增長，因此隨著餡餅變大，酥脆的餡餅皮完全被奶油餡料所淹沒。” 另一方面，科赫版本的餡餅皮的增長速度比線性增長更快，這使得喜歡餡餅皮的人可以在他們的餡餅中吃到更多的餡餅皮。

科赫山核桃派在特製烤箱中烘烤。在 Instructables 上查詢更多科赫派的圖片，以及Google 相簿。圖片來源：查爾斯·福爾克斯

福爾克斯報告說，用金屬製作科赫派的烤盤幫助他對曲線具有許多沒有切線的點意味著什麼有了更直觀的理解。他寫道：“我的意思是，你認為你對數學分析有相當好的理解，但是除非一塊具有非常高的周長與表面積比的金屬撕裂你的肉體，否則你真的會錯過對幾乎處處缺乏連續導數的物體的直觀理解。”

科赫雪花派是一項崇高的事業，但我認為它可以改進。餡餅皮雖然尺寸比例很好，但還是粘在邊緣上。對於這麼大的餡餅，徑向餡餅塊是笨拙的，如果不是完全不可能的話，所以拿到內部塊的人仍然會感到沮喪和沒有餡餅皮。

但是科赫雪花的另一個特性可以提供幫助。雪花可以自鑲嵌。如果你取六個較小的科赫雪花副本並將它們粘在每個臂中，你將在中間留下另一個科赫雪花。它比臂中的雪花更大，但形狀相同。你可以再次用更小的雪花來平鋪內部的雪花，以此類推，而不是讓內部的雪花保持原樣。

用許多尺度較小的科赫雪花對科赫雪花進行鑲嵌。現在想象一下，如果這些邊界是由美味、酥脆的餡餅皮製成的。圖片來源：埃德蒙·哈里斯 *宇宙的圖案*，埃德蒙·哈里斯和亞歷克斯·貝洛斯合著的數學塗色書

以餡餅的形式，這表明你可以在整個餡餅中構建分形餡餅皮牆，更均勻地分配餡餅皮。事實上，如果你用更小的雪花平鋪內部的雪花，以及這些雪花的內部雪花，以此類推，你甚至可以滿足最喜歡餡餅皮的人。