2015年7月31日

我最喜歡的空間之幾：無限耳環

拓撲學是關於擠壓和拉伸的；距離應該無關緊要。但是無限耳環展示了拓撲學和幾何學之間微妙的相互作用。

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點。

拓撲學有時被描述為戴著啤酒眼鏡的幾何學，或者不戴眼鏡的幾何學。幾何學是研究形狀的學科：它們在空間中的位置，它們彼此之間以及與自身之間的相互作用方式。進行幾何學研究通常需要以某種方式測量距離。另一方面，在拓撲學中，你可以隨意拉伸或擠壓物體，因此空間中任意兩點之間的確切距離並不重要。但有時幾何體會出現在你意想不到的地方。物體的幾何形狀會影響其拓撲結構。

無限耳環，有時也稱為夏威夷耳環，是我在拓撲學中最喜歡的例子之一，因為它說明了幾何學和拓撲學之間一些微妙的相互作用。

為了構建無限耳環，你從二維歐幾里得平面開始，並新增一個圓，其圓心在點 (1,0)，半徑為 1。現在新增半徑為 1/2，圓心為 (1/2,0) 的圓。現在新增半徑為 1/3，圓心為 (1/3,0) 的圓。這個模式持續下去：無限耳環由所有半徑為 1/n，圓心為 (1/n,0) 的圓組成，其中 n 為所有正整數。

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最終，它是一堆巢狀的圓，它們都恰好在一個點 (0,0) 相交。但它不止於此。透過思考無限耳環不是什麼來思考它，這是很有啟發意義的。例如，它與無限個圓的集合不同，這些圓都相交於一點（我們稱之為可數無限個圓的楔形或花束）。這個事實可能會讓人感到驚訝，因為畢竟，我們可以透過將圓縮小不同的量並將它們推入平面，將圓的楔形變成無限耳環，或者我們可以透過放大無限耳環的小圓來反過來操作。即使這些變換相當溫和，這兩個空間在拓撲上也不是完全等價的。

圓本身就是一個拓撲空間，當我們談論無限個圓的集合時，我們並不要求它們位於任何特定的環境空間中。無限耳環位於平面中的事實會影響其拓撲結構。我們無法將可數無限個相同大小的圓的楔形放入平面中，因為圓會開始以我們不希望的方式重疊。

證明兩個空間在拓撲上是相同的很困難，但只需要一個差異就可以證明它們是不同的。證明無限耳環與可數無限個圓的花束不同的最容易的方法是放大點並看看你會得到什麼。如果這兩個空間是等價的，那麼當你放大對應的點時，你會看到在拓撲上等價的東西。任一空間中最特殊的點是所有圓匯聚在一起的楔形點。如果我們只看那個點周圍的一個小區域，我們就會發現我們的差異。

在圓的花束中，楔形點的一個小鄰域僅僅由每個圓上一個點的小鄰域組成。這就像一把義大利麵。（很多義大利麵。）

無限耳環中點 (0,0) 周圍的一個小區域是歐幾里得平面中的一個小圓。它具有一定的有限半徑，並且該半徑大於耳環中某些圓的半徑。事實上，它大於無限多個圓的半徑。因此，該圓包含來自耳環的無限多個圓。用義大利麵來比喻，就像有限數量的義大利麵條中混入了無限多個（非常小的）義大利麵圈。

無限耳環和圓的花束之間的差異以其他複雜而令人愉快的方式顯現出來，但我認為我稍後再討論這些。現在，我想考慮另一個與無限耳環不同的空間，這次是一個也位於平面中的空間。

如果我們向外而不是向內構建圓，使它們的半徑為整數 1、2、3 等等（也許我們應該稱之為更無限耳環？），我們會得到另一個與無限耳環根本不同的空間。有幾個拓撲性質可以區分這兩個空間。最容易看到的是，無限耳環是有界的——它都適合平面中的一個盒子——而更無限耳環不是。

兩個無限耳環之間的另一個區別是，一個空間是閉集，而另一個不是。在平面中成為閉集有幾個等價的定義。其中之一是，任何非常接近集合中點的點本身也在該集合中。更無限耳環不包含 y 軸上除 (0,0) 之外的任何點，但是隨著耳環中的圓越來越大，它們看起來越來越像一條直線，因此它們越來越接近 y 軸。當我們取整個無限空間時，y 軸上的所有點都非常接近更無限耳環中的點，但它們永遠不會完全接觸到它們。

另一方面，不太無限的耳環沒有這個問題。半徑為 1 的圓是其中最大的一個，因此該圓限制了 y 軸可以接近這些圓的程度。

我花了一段時間才接受這個事實，即無限耳環真的與圓的花束和更無限耳環如此不同，一個空間的幾何形狀真的會對拓撲結構產生如此大的影響。我想我不是唯一一個拓撲學學生，感覺自己只是在聽信別人的話，而不是完全理解它。但在那種時候，我用約翰·馮·諾伊曼的一句話安慰自己：“在數學中，你並不理解事物。你只是習慣它們。”