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一想到有兩個房間的房子，我就忍不住想到約翰福音 14:2：“在我父的家裡，有許多房間。” 這個拓撲學的例子比上帝的國度要謙虛一些。畢竟，只有兩個房間。更合適的經文是這樣的：在賓的房子裡，有兩個房間。如果不是這樣，哈徹會告訴你如何建造它嗎？
有兩個房間的房子有時被稱為賓的房子，以R. H. 賓的名字命名，他是第一個描述這個空間的數學家。但像許多數學專業的學生一樣，我第一次在艾倫·哈徹的代數拓撲學書中遇到了它。他給了我們以下關於這個空間的圖片和定義。
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要建造這個空間，首先從一個盒子開始，盒子被一個水平矩形分成兩個腔室，這裡的“矩形”我們不僅指矩形的四個邊，還指它的內部。從盒子外部進入兩個腔室的通道由兩個垂直隧道提供。上部隧道是透過從盒子的頂部衝出一個正方形，然後在正下方從中間水平矩形衝出另一個正方形，然後插入四個垂直矩形，即隧道的壁來製成的。這個隧道允許從盒子外部進入下腔室。下部隧道以類似的方式形成，提供進入上腔室的通道。最後，插入兩個垂直矩形以形成兩個隧道的“支撐壁”。因此，由此產生的空間 X 由三個與環域同胚的水平部分加上形成兩個腔室壁的所有垂直矩形組成。
如果你的眼睛有點發花，你並不孤單。圖片和描述很難理解。在我們嘗試理解空間本身之前，我們應該弄清楚我們為什麼要費心研究它。哈徹用它作為一個“可收縮但並非以任何顯而易見的方式”的空間的例子。
“可收縮”是拓撲學的簡寫，意思是“像一個點”或者，不客氣地說，“無聊”。如果一個空間可以被壓縮成一個點而不會撕裂空間或粘合它的任何部分，那麼這個空間就是可收縮的。例如，一個實心球是可收縮的，因為它即使是三維的而不是像點那樣的零維的，它也可以被縮小到一個點，而不會撕裂或塌陷它的任何有趣的特徵。因此，對於某些拓撲學目的，它非常接近於一個點，以至於我們不妨假設它是一個點。
哈徹斷言，有兩個房間的房子，就像一個實心球一樣，也等價於一個點，儘管不那麼明顯。房子只是一個門面。它看起來好像有洞，但從拓撲學的意義上來說，它們實際上並不存在。
建造中的有兩個房間的房子的鳥瞰圖。這裡只建了一樓。
長期以來，我對有兩個房間的房子持懷疑態度。我只是看不出如何在不改變其拓撲結構的情況下將其壓縮成一個點。我接受了哈徹的說法，但直到我自己製作了它，我才真正相信它的可收縮性。上學期春假前一天，我帶了一些黏土到我的拓撲學課上，我們製作的東西之一就是有兩個房間的房子。當我們完成時，我覺得我真正理解了這個空間。
有兩個房間的房子……和一個稍微漏水的屋頂。
在這裡，我可以告訴你我是如何看到這個空間是可收縮的，但我不會這樣做。我認為看到它的最好方法是用黏土或你手頭的任何柔軟材料製作它。哈徹的圖表和描述給出了一個很好的配方，而且我從個人經驗中知道，本科生甚至像我這樣的博士後都可以很好地遵循這些說明來建立一個令人信服的有兩個房間的房子，儘管我必須承認我們的屋頂漏水。
如果你想走捷徑，北愛荷華大學數學家塞隆·J·希奇曼的兒子，12 歲的大衛·希奇曼製作了一個有趣的關於在 Minecraft 中建造它的影片，肯·貝克在部落格 Sketches of Topology 上寫了關於它的文章。在那裡，他用不同的方式描述了它。
你知道嗎，與其握手，不如抓住彼此的手腕？你的拇指幾乎但並沒有完全夠到你的手指？賓的兩手手套會很合身。
顯然，有兩個房間的房子（或者我可能不得不開始稱之為的兩手手套）激發了我的宗教思想。當我寫這篇文章時，我意識到，就像多疑的托馬斯一樣，我需要在相信它之前用手感受這個空間。“你因為看見了我才信，那沒有看見就信的有福了。” 耶穌對托馬斯的回答可能適用於門徒訓練，但我認為它對拓撲學來說是倒退的。那些不得不拿出一些黏土或開啟 Minecraft 並創造出有兩個房間的房子才相信它的人是有福的。
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