2016年6月30日

我最喜歡的空間：空集

虛無的導覽

有什麼比空游泳池更空虛的嗎？

Cjp24，透過維基共享資源。 CC BY-SA 3.0

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

安德魯·海克在麗貝卡·米德最近發表的《紐約客》文章中說：“數學是關於虛無的。” 如果他還沒有，那麼透過這句話，他肯定已經江郎才盡了。他隨後更令人困惑地說：“數學描述了世界的大部分，但完全是關於它自身的。” 那麼數學是關於虛無的，除了它所關於的東西，也就是數學和世界上的某些事物？我贊同數學老師帕特里克·霍納的觀點，他問道：“我們為什麼要聽安德魯·海克的話？”

海克的斷言是荒謬的，但今天讓我們遷就他一下。認識一下空集。

關於支援科學新聞報道

如果您喜歡這篇文章，請考慮透過以下方式支援我們屢獲殊榮的新聞報道訂閱。透過購買訂閱，您正在幫助確保關於塑造我們今天世界的發現和思想的具有影響力的故事的未來。

好吧，空集並不是最上鏡的集合。它是一個內部沒有任何東西的集合，而且很難拍到虛無的好照片。該集合最流行的兩種表示形式是空括號 {} 和看起來像斯堪的納維亞母音 ø 的東西。（字母的維基百科頁面警告我們不要將該字母與數學符號混淆，但它沒有具體說明如果我們犯了這個錯誤會面臨什麼可怕的後果。）我將使用符號 ∅，因為我認為它看起來更好看，而且當你在寫作關於虛無的東西時，它最好是衣著得體的虛無。

邁克爾·哈里斯在他最近的部落格“Mathematics Without Apologies”上說，∅ 幾乎不是任何人的最喜歡的集合，但我認為有一些理由去喜愛它。

無限

喜愛空集的第一個理由是，空集遠非限制你的可能性，而是透過空泛真理的魔力來開啟它們。如果你從一個錯誤的 premise 開始推理，那麼任何事情都是真的。當我們說“當豬會飛時，我才會參加背誦圓周率數字的比賽”或者“如果那是一個明智的鐵路票價方案，那麼我就是英國女王”時，我們秘密地在修辭上使用這個想法。

空集是空泛真理的原型生成器。任何你想證明的關於空集中事物的事情，你都可以證明。從邏輯上講，這等同於說“如果 x 在空集中，那麼 x 具有[你正在思考的任何令人愉快的屬性]”。你想要獨角獸嗎？太棒了！空集中的一切都是獨角獸。你討厭獨角獸嗎？你很幸運——空集中的一切都是對抗獨角獸的護身符。空集本身不是對抗獨角獸的護身符，但其中每一件事物都是。

空集在數學中無處不在，我是字面意思。它是每個其他集合的子集。在這裡，我們必須小心我們所說的子集是什麼意思。如果集合 X 的每個元素都是集合 Y 的元素，則集合 X 是集合 Y 的子集。當 X 是空集時，無論 Y 是什麼，這都是正確的！由於空泛真理的力量，空集的每個元素都是偶數，並且空集的每個元素都是奇數。因此，空集既是偶數的子集，也是奇數的子集。

空虛

我認為空集是每個集合的子集這一事實使得數學上的空虛與我們在日常生活中思考空虛的方式根本不同。當你向空玻璃杯中倒水時，感覺就像你已經從玻璃杯中移走了空虛。但是你不能把空虛從數學集合中拿走。

我與詹姆斯·麥迪遜大學的數學家勞拉·塔爾曼就空集進行了一次有趣的對話。她專注於普通空虛和空集之間的區別。我們如何在生活中體驗空集？空餐不僅僅是一天中你不吃飯的時間。你會坐在餐具面前，沒有人會給你送食物，然後你會站起來離開。4'33"，約翰·凱奇的著名空作品，不僅僅是任何 273 秒的安靜。表演者坐在觀眾面前的鋼琴旁。包裝很重要。

那個包裝有助於解釋關於數學空虛的一個奇怪但至關重要的事實：空集不同於包含空集的集合。有時人們將其與塑膠袋或空玻璃杯進行比較。空集是一個空玻璃杯，而包含空集的集合是一疊兩個玻璃杯。你可以繼續下去：將玻璃杯放入桶中，你就得到了一個集合（桶）包含包含空集的集合（玻璃杯）。在旁邊再放一個玻璃杯進去，你就得到了一個集合，其中包含（空集和包含空集的集合）。這裡語言開始變得有點含糊，所以我用額外的標點符號進行補充。當然，與物理物體的類比並不完美。一個裝有三個玻璃杯的桶是有一定重量的，而數學集合沒有沉重的容器。

無中生有

關於空集最迷人的事情可能是你可以用它來無中生有。在我們這樣做之前，我們可能想簡要回顧一下集合論。現代數學的大部分都建立在集合論之上。集合基本上是數學家可以談論的最一般的物體的集合。如果你有一堆東西並稱它們為群，這意味著這些東西必須滿足一些關於它們彼此之間關係的規則。另一方面，集合可以是任何物體的集合，不需要任何關係。集合 {綠色物體，一隻名叫米莉森特的水豚，6，誠實} 與整數集合一樣有效。當然，當我們真正開始做數學時，我們很快就會發現我的相當折衷的集合沒有什麼有趣的事情可做，而整數為幾代數學家提供了需要思考的問題。

在集合論中，數學家們已經確定策梅洛-弗蘭克爾集合論是數學建立的基石。我們大多數人從不在那個基礎層面工作，但在原則上，我們可以從我們最新的定理一直向下挖掘到ZF 公理。這些公理有幾種不同的表述，它們在某種意義上是等價的，即你可以從另一種表述的公理中得到一種表述的公理。在所有這些表述中，空集都是必要的。事實上，它是我們保證擁有的唯一集合。當你的唯一工具是錘子時，每個問題看起來都像釘子，而空集就是我們的錘子。

為了從空集構建整數，我們從小處開始。我們讓空集為 0，或 ∅ =0。然後包含空集的集合為 1。我們可以將其寫為 {0} 或 {∅}。然後 2 是 {0,1}，或 {∅,{∅}}；3 是 {0,1,2}，或 {∅,{∅},{∅,{∅}}}。請注意，在每個階段，元素的數量與我們定義的數字相同。對於 3 來說，這有點難以分辨，但請注意，最後一個逗號在一個集合元素內。作為一個集合，數字 3 包含 3 個事物：空集；包含空集的集合；以及包含空集和包含空集的集合的集合。

當我們達到 4 時，事情變得非常複雜。4={0,1,2,3} 或 {∅;{∅};{∅,{∅}};{∅,{∅},{∅,{∅}}}}。用語言來說，它就像水牛城的水牛恐嚇水牛城的水牛：它是包含以下內容的集合：空集；包含空集的集合；包含空集和包含空集的集合的集合；以及包含空集、包含空集的集合以及包含包含空集和包含空集的集合的集合。這裡有一個地方，使用符號而不是語言可以將完全令人費解的東西變成幾乎可以抓住的東西。這種構造不是在集合論中構造數字的唯一方法，但它可能是最著名的一種。

視角

看起來我們已經從空集構建了整數，我們可以從中推匯出其餘的現代數學。海克是對的嗎？數學是關於虛無的嗎？真相是：數學不是從集合論發展而來的。大多數數學家甚至從不考慮從集合構建數字，或者一般的集合論的大部分細節。集合論的歷史僅有百餘年，但人們已經進行了數千年的數學研究。數學不是公理化發展的。它是在世界各地零星發展起來的——儘管通常具有驚人的相似之處——因為人們有他們需要解決的問題，或者注意到他們想要描述和分析的模式。

我們是好奇和喜歡實驗的生物，數學的意義逐漸轉變為我們今天使用的更加嚴格的公理化系統，但我們仍然在使用它來描述世界和解決問題。一些看起來最深奧的想法——八維空間中的球體堆積，比如說——與極其實際的問題有關——為蜂窩網路或光纖電纜中的資料找到最佳的糾錯碼，以便你、我或安德魯·海克即使在充滿失真和噪聲的世界中也能彼此交流。

如果那是關於虛無的，那麼某物的門檻就太高了。