本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
今年四月，我終於第一次讀了《沃特希普高地》，我的一個讀書小組討論了《野兔之年》（阿爾託·帕西林納寫的一本奇怪的小書，我發現很搞笑，但我的小組的其他大多數人不喜歡），當然那也是復活節，它的世俗慶祝活動以兔子為中心，不知何故兔子還下蛋。有什麼比在數學上了解杜阿迪兔子更能進入兔科動物的春季精神的方式呢？
像我最近許多最喜歡的空間一樣，杜阿迪兔子是一個以一位法國人名字命名的分形（例如，法圖煎餅和曼德勃羅集）。它的同名者阿德里安·杜阿迪（1935-2006）研究了復動力系統和曼德勃羅集，後者是他為了紀念曼德勃羅而命名的。我不知道是誰決定用杜阿迪的名字來命名這個分形，但那一定是某個非常欽佩他的“兔子”先生。
為了理解杜阿迪兔子，我們首先要了解曼德勃羅集和許多朱利亞集之間的關係。我在關於曼德勃羅集和法圖煎餅的帖子中寫到了這種關係，但如果您不想去閱讀那些文章，那麼主要思想是曼德勃羅集中的每個點c都與形式為f(z)=z2+c的函式相關，並且我們關心迭代這些函式時會發生什麼。您將數字z=0代入開始，然後將輸出重新代入函式，依此類推。如果迭代保持有界，則數字c在曼德勃羅集中。如果迭代增長非常大，則數字c不在曼德勃羅集中。
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您對曼德勃羅集研究和玩耍得越多，您就會越發明白這個形狀不僅僅是一個漂亮的數學作品，可以作為書呆子紋身。曼德勃羅集和稱為填充朱利亞集相關的其他分形之間存在許多美麗的聯絡。函式的填充朱利亞集是迭代下保持有界的點的集合，而曼德勃羅集對應於數字c，對於這些數字，函式f(z)=z2+c的填充朱利亞集是一個整體，而不是分散的、像灰塵一樣的物體。（也許是灰塵兔子？）
我設想曼德勃羅集中的每個點都舉著一個小牌子，上面畫著它的填充朱利亞集。如果您在曼德勃羅集中挑選出一個點，您就知道它將舉著一個牌子，上面有一個完整的填充朱利亞集，如果您拿起兩個附近點的牌子，它們可能看起來不會太不一樣。
杜阿迪兔子是函式f(z)=z2+c的填充朱利亞集，其中引數c近似為-0.12256+0.74486i。（這裡，像我帖子中通常一樣，i=√-1。）
每當我寫關於曼德勃羅集或相關分形的文章時，我都要推薦霍莉·克里格的Numberphile關於它的影片。今天我還想推薦該影片的第二部分，她在其中分享了關於填充朱利亞集的更多資訊，並提到了兔子及其一些同類。
除了它看起來有點像兔子這一事實——老實說：它與任何兔形目動物的相似之處充其量只是印象派的——為什麼要關心這個特定的朱利亞集？我不反對在數學上尋找雲朵中的形狀，但是否有任何理由認為，在這個浩瀚的填充朱利亞集海洋中，這個填充朱利亞集特別到足以擁有自己的名字？
是也不是。杜阿迪兔子有一個由三個點組成的迴圈，從0開始，在定義對映的特殊c下，這些點相互對映。事實上，這就是我們如何精確地計算出c。如果我們從0開始並迭代函式，將我們的答案重新代入，我們想要一個點迴圈，以便0轉到第一個點，第一個點轉到第二個點，第二個點轉回0。我們知道，當我們將0代入函式f(z)=z2+c時，我們得到c。然後當我們迭代它，將c代入z時，我們得到c2+c。當我們將其重新代入函式時，我們得到(c2+c)2+c，並且因為我們希望迴圈閉合，所以我們將此數字設定為等於0。一點線上方程求解器之旅（因為誰有時間記住三次方程，即使它是用特扎韻詩寫成的也很好聽？）我們發現c可以近似為-1.7549、-0.12256+0.74486i或-0.12256-0.74486i。碰巧杜阿迪兔子對應於c=-0.12256+0.74486i。
因此，當我們固定c並檢視函式f(z)=z2+c時，我們知道數字0、c和c2+c形成了一個漂亮的小迴圈，從一個跳到另一個。碰巧的是，兔子中的所有其他數字也被這個小迴圈吸引。這個點迴圈位於兔子的心臟、嘴巴和耳朵處（至少我是這樣想象兔子的；它的解剖結構可以隨意解讀）。
左圖：曼德勃羅集，在點c=-0.12256+0.74486i處有一個紅色小方塊，它對應於杜阿迪兔子。右圖：杜阿迪兔子，帶有幾條紅色線段，顯示了在對映f(z)=z2+c下點的軌跡。頂部的三角形頂點位於三個點0、c和c2+c處。
致謝：伊芙琳·蘭姆，使用馬克·麥克盧爾的朱利亞集生成器
然而，杜阿迪兔子遠非唯一具有這種行為的分形。我找到了馬克·麥克盧爾製作的一個有趣的曼德勃羅/朱利亞集探索頁面，您可以在那裡四處檢視，看看這種行為發生在何處。（但請注意。該頁面是一個相當深的兔子洞！）在那裡，您可以在曼德勃羅集中點選以找到您最喜歡的朱利亞集，然後檢視當您在曼德勃羅集中移動時它們如何變化。然後，一旦您找到喜歡的朱利亞集，您就可以在其中單擊以檢視內部的點如何跳躍。當您單擊定義杜阿迪兔子的點c附近的任何位置時，您會看到一個外觀相似的分形，並且您會看到類似的固定點三角形。杜阿迪兔子只是以0作為固定點的特殊兔子。麥克盧爾的互動式吸引盆地頁面也以杜阿迪兔子為特色。
如果杜阿迪兔子對您來說還不夠，還有一些其他“兔氣十足”的朱利亞集可供選擇。“反兔子”是兔子的反向影像，透過將引數c更改為-0.12256-0.74486i建立。“胖兔子”（或者我喜歡稱之為“胖乎乎的兔子”）對應於附近的c，約為-.0125+.655i。也許您會更喜歡霍莉·克里格幾個月前在Twitter上分享的另一個美麗的集合：“由胖反兔子組成的瘦兔子”，正如她所描述的那樣。我甚至找到了一篇關於“扭曲兔子”（與杜阿迪兔子相關）的論文。（這篇論文相當技術性，但它有一些漂亮的圖片。）
胖兔子，或胖乎乎的兔子，是函式f(z)=z2+-0.12565651+0.65720i的朱利亞集。致謝：Adam Majewski Wikimedia(CC BY-SA 3.0)
如果您希望您的兔子分形實際上與兔子有相似之處，凱瑟琳·林賽寫了一篇論文，詳細介紹瞭如何用複雜函式的朱利亞集來近似甚至非常複雜的圖片。幾年前我寫過關於這項工作的文章。她和合著者馬利克·尤尼西最近發表了一篇擴充套件這項工作的論文。
有了所有這些可能性，希望你能找到一些能打動你的分形兔子。
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