2015年3月26日

我最喜歡的空間：康託集

康託集非常龐大，但其中並沒有太多東西。

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點

上個月，我寫了關於 π-Base 的文章，這是一個功能類似於 拓撲學反例 這本書的網站。這個學期我正在教拓撲學課程，並且重溫一些好的反例很有趣。作為部落格上的一個新系列，我將寫一些這些奇怪而有趣的數學空間。我們將從康託集開始，這是一個有用的空間，在數學中反覆出現。

關於康託集，主要有兩種思考方式。第一種更有趣，所以我們從那裡開始。取一條線段。不妨取從 0 到 1 的線段，包括它的兩個端點。現在移除線段的中間三分之一，但不包括端點 1/3 和 2/3。我們剩下線段 [0,1/3] 和 [2/3,1]。現在移除這兩個線段的中間三分之一，這樣我們就剩下 [0,1/9]、[2/9,1/3]、[2/3,7/9] 和 [8/9,1]。如果你永遠移除中間三分之一，你就會得到康託集。

最終得到康託集的過程的七次迭代。圖片來源：公有領域，來自維基共享資源。

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當您不斷移除所有這些東西時，剩下任何東西可能有點令人驚訝，但如果您稍微思考一下，您會同意數字 0、1/3、2/3、1 以及任何中間區間的其他端點永遠不會被移除。我們特意選擇不移除它們。更令人驚訝的是，不僅僅是那些端點。還有更多。端點只有可數個（讀作：微不足道的無窮大），但康託集中有不可數個（讀作：相當可觀的無窮大）點。為了理解為什麼，看看思考康託集的另一種方式會更容易。

康託集的第二種描述有點枯燥，但可能更精確。我們通常使用十進位制來書寫數字，但對於這種構造，我們應該使用三進位制來書寫。這意味著我們只需要數字 0、1 和 2。（三在三進制中寫成 10。數字一到十寫成 1、2、10、11、12、20、21、22、100、101。）康託集是所有介於 0 和 1 之間且可以用三進位制寫成，並且只使用數字 0 和 2 的數字的集合。例如，0 當然在康託集中，1 也在其中，它可以寫成 0.2222222…。 (就像 0.99999…=1 一樣。)

關於康託集的三進位制思考方式與中間三分之一構造非常自然地對應。三進位制描述就像一次性移除所有中間三分之一。當您移除區間 (1/3,2/3) 時，您正在移除小數點（三進位制小數點？）後第一位為 1 的數字。當您移除剩餘線段的中間三分之一時，您正在移除第二位為 1 的數字，依此類推。我們確實需要小心端點。早些時候，我們注意到數字 1 可以寫成 1 或 0.222222…。同樣，數字 1/3 可以寫成 0.1 或 0.0222222…。任何三進製表示以 1 結尾的數字都可以重寫為以無限個 2 結尾。康託集是可以用三進位制寫成，並且只使用 0 和 2 的所有數字的集合，而不是必須以這種方式書寫的所有數字的集合，因此我們將允許 1 和 1/3 以及其他此類數字成為集合的一部分。

康託集不僅僅是一個很酷的紋身圖案。它有許多在早期拓撲學和分析課程中出現的性質，如果您想測試新的定義，它是一個很好的例子。它具有“大”和“小”屬性的有趣組合。我之前提到過它是不可數的。去年夏天我寫了一些關於不可數性的文章。可數無限集對應於可以列出的集合——即使我們無法寫下所有整數，我們也可以想出一種列出它們的方法，並知道哪個會出現在列表中的哪個位置，所以整數是可數的。令人驚訝的是，一些看起來甚至“更大”的集合也是可數的。最讓我驚訝的是所有有理數的集合。 “應該”有比整數多得多的有理數，但在精確的意義上，它們的數量完全相同！

另一方面，所有實數的集合是不可數的。這意味著我們嘗試列出它們的任何方式都註定要失敗。康託的對角論證確立了這個事實，可能是我在數學中最喜歡的證明。同樣的推理可以用來證明康託集是不可數的——事實上，它與所有實數的集合大小相同。

這就是康託集開始變得像反例的地方。它是不可數的，但它也沒有任何“東西”在裡面。它的長度為零。理解這一點的一種方法是注意到你在每一步都移除剩餘長度的 1/3。在第一步中，你移除一個長度為 1/3 的區間。在第二步中，你移除你剩下的 2/3 區間的 1/3，總共 2/9，依此類推。你移除的總長度是 1/3+(1/3)(2/3)+(1/3)(4/9)+(1/3)(8/27)…。以前的微積分 2 學生可能會回憶起幾何級數之和，並注意到這個級數之和為 1。因此，從長度為 1 的區間中，我們移除了 1 個單位的長度，但我們剩下的數字卻和整個實數軸一樣多！

如果您想了解更多關於康託集的資訊，π-Base 列出了一些它的拓撲性質：它是緊緻的、完全分離的且拓撲完備的，但不是分散的。 Cut-the-knot math 也有一個很好的康託集頁面，羅伯特·瓦林（上面照片中康託集紋身的所有者）寫了一整本關於這個主題的書。祝您玩得愉快！