2016年3月31日

我最喜歡的一些空間：空間填充曲線

空間填充曲線，維度之間令人費解的對映，具有令人驚訝的實際應用。

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

如果你聽過這個，就阻止我。想看空間填充曲線的圖片嗎？給你！

這真是個笑話！空間填充曲線基本上就是它聽起來的樣子：一條線被彎彎曲曲地彎曲，直到它填充一個二維區域，在本例中是一個正方形。（也有三維空間填充曲線，以及四維等等。一條線可以填充你給它的任何空間！）

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空間填充曲線在其完整形式中不是很具有啟發性。你能從一個純黑色的正方形中學到什麼？相反，像其他分形一樣，我們通常將空間填充曲線想象成有限構造的無限版本。

有幾種方法可以使用迭代過程製作空間填充曲線。這是一個動畫形式。

在每個階段，每個線段都被一個由四個線段組成的圖形替換。中間曲線都不是空間填充的，但如果我們想象這個過程永遠繼續下去，那麼無限版本就是我們的空間填充曲線。

空間填充曲線挑戰了我對維度的直覺。空間填充曲線是一條線的影像，一條根本上是一維的物體，它填充了一個平面，一個根本上是二維的物體。感覺一個表現良好的函式不應該能夠將一維的東西變成二維的東西。讓我感到安慰的是，它只在無窮遠處起作用，但這仍然有點令人不安。

（如果你在上拓撲課，你應該非常緊張。直線和平面在拓撲上是不等價的，但空間填充曲線是一個將直線對映到平面的連續函式。它有什麼問題？我們打破了所有的數學嗎？！）

很難想象像無限扭結的線這樣抽象的東西可能與現實世界有任何關聯，但空間填充曲線將一維的東西變成二維或更高維的東西這一事實在資料處理中具有實際應用。在這段精彩的影片中，格蘭特·桑德森解釋了希爾伯特曲線（空間填充曲線的一個例子）如何幫助我們找到將影像的二維視覺資料轉換為一維聲音資料的最佳方法。

如果你想在家一起玩，有很多方法可以製作自己的空間填充曲線。如果你想耍花招，只需開始給一些正方形著色即可。如果你對製作曲線的無限迭代過程更感興趣，Vi Hart 是你繪製龍曲線的指南，而Andrea Hawksley，受 Kyle Calderhead 的啟發，將幫助你鉤織自己的希爾伯特曲線阿富汗毯。

至於我，我在宇宙的模式中找到了我的空間填充曲線禪，這是一本由Alex Bellos和Edmund Harriss創作的數學主題著色書。他們的書中包含兩頁空間填充曲線。其中一頁是這篇文章的特色圖片，另一頁是下面的連點成線。

本週的前半部分，我都在對人們大吼大叫，因為他們對糟糕的數學教育論點，而給流蛇著色是完美的舒緩劑。