本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
上週，當 Toby Hendy 在 Twitter 上關注我時，我感到 很興奮。她是一位物理學博士生，擁有一個 YouTube 頻道，主要內容是物理學，偶爾也會穿插一些美髮影片。我從她關於狄拉克帶技巧的影片中認出了她，她在影片中用她非常長的辮子進行了演示。
我寫過關於這個技巧的文章，我現在把它看作是 女服務員餡餅技巧，在 2016 年觀看託尼獎頒獎典禮後。上週與 Hendy 在網上交談時，我意識到我一直想寫更多關於 SO(3) 的內容，這個空間潛藏在頭髮和餡餅背後。
關於支援科學新聞報道
如果您喜歡這篇文章，請考慮透過以下方式支援我們屢獲殊榮的新聞報道 訂閱。透過購買訂閱，您將幫助確保未來能夠繼續講述關於塑造我們當今世界的發現和思想的具有影響力的故事。
一個旋轉的球體。 來源：Maksim Wikimedia(CC BY-SA 3.0)
SO(3) 是特殊正交群*在三維空間中的縮寫，它也被稱為三維旋轉群。它是三維空間旋轉的集合，這些旋轉保持一個特殊的點，稱為原點。最容易想象的情況是，所有你可以旋轉一個球——無論是籃球還是地球本身——的方式，都保持球的中心固定。
除了作為一個集合，SO(3) 還是一個群，這是一個數學術語，表示該集合具有更多的結構。群需要一個集合以及一種組合集合元素以獲得集合中其他元素的方法。很容易讓你相信，執行一次固定球中心點的旋轉，然後再執行第二次旋轉，將產生另一次旋轉。群還需要一個單位旋轉（什麼都不做），並且每個旋轉都必須有一個撤銷它的逆旋轉。
到目前為止，我們將 SO(3) 定義為旋轉群。除了可能一些不熟悉的術語外，它非常簡單明瞭。現在我們進入元層面。
我們想要理解的不是我們正在旋轉的球體的結構，而是旋轉空間本身的結構。我們需要多少維度的資訊來描述所有的旋轉？我們能否找到一種方法來視覺化，不僅是單個旋轉，而是整個旋轉空間？
首先，讓我們考慮一下我們如何描述旋轉。一種方法是注意到，球體的每一次旋轉（固定中心）都是圍繞穿過中心的直線進行的。如果你正在考慮地球儀，那很可能是連線北極和南極的線。在 SO(3) 中，我們允許繞任何這樣的軸旋轉，並且我們可以旋轉任意角度。因此，指定旋轉的一種方法是指定一個軸（或等效地，球體上的兩個相對或對蹠點）和一個旋轉量。視覺化這個想法的一種方法是想象一個實心球。為了方便起見，我們說它的半徑為 1/2。（當數學家選擇一個非 0 或 1 的數字來“方便”時，你就知道她有訣竅了！）球體中除了中心之外的每個點都沿著某個軸距離中心一定的距離。為了完全理解旋轉和實心球中的點之間的對應關係，我們必須深入瞭解一些更詳細的資訊。
自己玩弄這些想法，弄清楚為什麼會選擇每種約定是很有趣的，但現在，你必須相信我的話。讓我們想象一下球體中除球體中心之外的點。它沿著穿過中心的某個軸，距離d，介於 0 和 1/2 之間。想象一下，將你的視線與這個旋轉軸對齊，調整球體的方向，使你的眼睛比中心更靠近你選擇的點。然後旋轉指定的轉數部分，由距離d指定。因此，如果d=1/4，則旋轉四分之一圈。可能需要稍微思考一下，但事實證明，所有旋轉都可以使用距離和軸來描述，因此我們在球體中的點和球體的旋轉之間建立了對應關係。
嘗試想象在實心球中漫步，並觀察球體的旋轉結果是很有趣的。例如，如果你沿著從球體中心發出的射線行走，你就是在固定一個軸，並圍繞該軸進一步旋轉。當你到達球體邊緣時會發生什麼？在那個點上，你已經在一個方向上旋轉了半圈，即 180 度。當你進一步旋轉時，它等同於在另一個方向上旋轉小於 180 度，這對應於同一射線上的一個點，但在中心的另一側，或者將你的眼睛與相同的軸對齊，但使相對側更靠近。
這意味著為了描述旋轉是如何相互關聯的，我們希望能夠沿著一條射線走到球體的邊緣，然後跳到射線的另一側，並繼續朝相同的方向行走。所以基本上我們想要一個對蹠點粘合在一起的實心球。《我最喜歡的空間》的常客可能會覺得這有點熟悉。將圓形物體的對蹠點粘合在一起正是我們獲得實射影平面時所做的事情！事實上，SO(3) 在拓撲上與實射影 3-空間或 RP3 相同。
在研究這篇文章時，我偶然發現了一篇新的論文和 David Pengelley 和 Daniel Ramras 關於 SO(3) 與帶或餡餅技巧之間關係的影片系列。 這篇論文假設了一些數學背景，但這些影片不需要那麼多，它們都有助於思考當你的頭髮或手臂旋轉和旋轉，並最終回到起點時，它們到底在做什麼。
*奇怪的是，理解空間名稱中的詞語對於理解這篇文章來說並不是真正必要的，但是如果你不至少對名稱進行簡要解釋就離開這篇文章，這似乎很奇怪。SO(3)，三維特殊正交群，是矩陣的集合。在數學中，矩陣是數字的矩形陣列，這似乎極其低估了它的用途。我們在這裡關注矩陣的原因是，它們提供了一種表示稱為線性函式的變換的簡單方法。
在 SO(3) 的情況下，我們感興趣的矩陣是方陣，因此它們具有相同數量的行和列（每個 3 個）。正交一詞意味著矩陣的列必須彼此正交（垂直，但更花哨），特殊一詞意味著矩陣必須具有行列式 1；基本上，它們表示的變換不能使事物變大或變小。
閱讀更多我最喜歡的空間： 康託集 胖康託集 拓撲學家的正弦曲線 康託的漏帳篷 無限耳環 具有兩個原點的直線 具有兩個房間的房子 法諾平面 環面 三環面 莫比烏斯帶 長線 空間填充曲線 沃利斯篩 沿裂縫粘合的兩個環面 空集 門格海綿 四個霍普夫環的連通和 博羅梅安環 謝爾賓斯基三角形 單位正方形上的字典序 SNCF 度量 曼德勃羅集 法圖煎餅 偽球面 杜阿迪兔子 龐加萊同調球 科瓦列夫斯卡婭陀螺 一個 6 孔環面 實射影平面 一維球面 尼斯湖水怪 科赫雪花 雙圓柱 懸鏈曲面