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法圖煎餅並非一個廣為人知的術語，除非在我自己的腦海中。然而，為了紀念我稱為法圖日的吉祥數學節日，我想慶祝這個集合，即函式 f(z)=(z+z2)/2 的填充朱利亞集。它形狀有點像煎餅，以紀念今天的另一個節日，懺悔星期二，並且在 1906 年由皮埃爾·法圖本人研究過。（您可以在法國國家圖書館網站上閱讀他關於它的文章。它是法語的，並且他使用的數學語言可能有點過時。）
我已經將我暱稱為法圖煎餅的集合描述為有界的法圖域和填充朱利亞集。這些是什麼意思？有幾種定義集合的方法。最直觀的方法是，您觀察複平面中的點在您將它們代入給定函式（因此朱利亞集是特定函式的朱利亞集）時會發生什麼，然後再次將輸出代入函式並不斷重複。一個點可以保持有界或跑到無窮遠。如果它保持有界，那麼它就在填充朱利亞集中，如果它跑到無窮遠，那麼它就不在。朱利亞集是填充朱利亞集的邊界。
法圖域不如填充朱利亞集那麼直觀。但今天是法圖日，見鬼，所以我們要深入瞭解它們！法圖域是一個在函式 f(z) 下不變的開集。這意味著域中的每個點都被帶到域中的另一個點。此外，一個法圖域中的點表現相似。（“表現相似”的確切含義變得有點技術性。點可能表現相似的一種方式是它們可能都被吸引到同一點。）總而言之，法圖域形成法圖集，而朱利亞集是剩下的所有內容。在我上週關於法圖日的帖子中，我提到您可以將法圖集視為所有成團做類似事情的東西，而將朱利亞集視為行為混亂的點集。如果您在朱利亞集中，您不知道您附近的點會射向無窮遠還是禮貌地保持在附近。
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一個例子勝過千言萬語，所以讓我們研究一下非常良性的函式 f(z)=z2 的朱利亞集和法圖集。在這裡，我使用變數 z 來提醒大家，我們生活在複平面中。如果您不熟悉複平面中的乘法，您可能需要觀看格蘭特·桑德森（也稱為3 Blue 1 Brown）的這個精彩影片。
對於這篇文章，需要理解的重要事項是，複數可以被認為是平面中的向量，既有大小（距 0 的距離）又有方向（角度是從 x 軸逆時針測量的），並且複數乘法不僅僅像實數乘法那樣是拉伸。（我們可以將實數乘法視為“拉伸”或“擠壓”數軸。）複數乘法既有拉伸成分又有旋轉成分。要將兩個複數相乘，我們將它們的角度相加，並將它們的大小相乘。
因此，當我們對一個複數求平方時，我們將其角度加倍並平方其大小。如果它非常接近於零，大小小於 1，它將在旋轉的同時向零收縮。如果它遠離零，大小大於 1，當我們對其求平方時，它將離零更遠。如果它的大小為 1，則角度將加倍，因此它將逆時針旋轉一定量，並且大小將保持不變。
法圖集和朱利亞集基於點在函式重複迭代下的長期行為。因此，在 f(z)=z2 的情況下，我們不僅僅平方數字一次；我們取一個輸入，平方它，平方平方，依此類推。為了檢視具體的數字，我們可以從數字i，即 -1 的平方根開始。它的大小為 1，角度為 90 度，或者如果您想變得花哨和使用弧度，則為 π/2。它的軌跡將是 i、-1、1，然後它將永遠停留在那裡。另一方面，數字 2 只會沿著 x 軸跑到無窮遠：2、4、8、16 等等。而像 1/4+i/4 這樣的小數字會螺旋式地向 0 收縮：1/4+1/4i、i/8、-1/64、1/4096 等等。一般來說，複平面中的所有點都可以分為三組：螺旋式向 0 收縮的點、爆炸式向無窮遠延伸的點以及停留在半徑為 1 的圓上的點。後一組點構成朱利亞集。其他兩組是兩個法圖分量。
正如霍莉·克里格在這個關於填充朱利亞集的有趣影片中所說，函式 f(z)=z2 基本上是唯一一個具有易於理解的填充朱利亞集的函式。產生法圖煎餅的函式 f(z)=(z+z2)/2 要複雜得多，難以分析。如果我們選擇一些數字代入，我們會看到，例如，0 保持不變，1 也是如此。數字i 最終被吸入 0。但是大小較大的數字最終會跑到無窮遠。最終，最終回到 0 的點是這篇文章頂部煎餅的麵包。數學上，那是填充朱利亞集或法圖域之一。煎餅周圍的邊界曲線是朱利亞集。這條曲線相當複雜，比看起來更粗糙，儘管它具有令人愉悅的對稱性，無論是水平的還是垂直的。用筆和紙很難掌握它們，但您可以使用線上計算器探索朱利亞集。（注意：線上朱利亞集計算器通常適用於 f(z)=z2+c 形式的函式，您可以在其中看到當您改變變數 c 時會發生什麼，而不是以 f(z)=(z+z2)/2 這樣的形式編寫的函式。函式 f(z)=z2+1/8 和 f(z)=(z+z2)/2 具有相似的朱利亞集。）
無論您是否選擇用麵粉和酪乳製作填充朱利亞集，法圖日快樂！
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