本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，僅反映作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
上個月，我寫了關於康託集的文章，這是一個有趣的數學空間，兼具小和大。說它小，是因為它的長度為0。但說它大，是因為它是不可數的。一旦數學家接觸到某個物件，他們的第一反應之一就是調整它，看看會發生什麼。這就是我們最終得到胖康託集的原因。
如果有人談論the康託集，他們指的是我之前寫過的標準中間三分集。它的建立方法是從 [0,1] 區間開始，並移除它的中間三分之一，這樣我們就剩下區間 [0,1/3] 和 [2/3,1]。然後從每個剩餘區間中移除中間三分之一，這個過程永遠重複下去。令人驚訝的是，最後還剩下一些東西，但沒有長度。移除的總長度加起來為 1，即原始區間的長度。
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對康託集進行的首個邏輯調整是將中間三分之一更改為其他分數。如果我們改為移除每個區間的中間四分之一會發生什麼？所以我們從 [0,1] 開始。在第一步中，我們剩下區間 [0,3/8] 和 [5/8,1]。然後我們不斷從每個區間中移除中間四分之一（長度為 3/32 的線段）。您可能會認為，因為我們在每一步移除的量較少，所以最後會剩下更多，但事實並非如此。如果您將我們移除的所有區間的總長度加起來，我們仍然會得到 1。這個康託集實際上並沒有比上一個更有趣。我們也不是僅僅運氣不好。如果我們每次都保持相同的比例，我們總是會最終移除總長度為 1 的區間。有一些方法可以區分中間三分、中間四分或中間任何分的康託集，但現在我們將嘗試以不同的方式擺弄康託集。
接下來要嘗試的是改變我們在每一步移除的區間的比例。我們將首先再次移除中間四分之一，這樣我們就剩下 [0,3/8] 和 [5/8,1]。但在下一步中，我們只會從每個剩餘區間中移除長度為 1/16 的區間。現在情況發生了一些變化。之前，我們的第二步是移除長度為 3/32 的線段，這比 1/16 略長。在我們新的構造中，我們將不斷縮小我們在每一步移除的剩餘區間的比例。
下面描述的胖康託集的五個構造步驟。圖片來源：Inductiveload，透過維基共享資源。
在步驟 1 中，我們從我們開始的一個區間中移除長度為 1/4 的區間。
在步驟 2 中，我們從每個剩餘的兩個區間中移除長度為 1/16 的區間，移除的總長度為原始長度的 1/8。
在步驟 3 中，我們從每個剩餘的四個區間中移除長度為 1/64 的區間，移除的總長度為 1/16。
我們繼續這個模式。在步驟 n 中，我們移除總長度為 1/2n+1 的區間。
如果我們無限次地執行此操作，我們移除的總長度為 1/4+1/8+1/16+…，加起來為 1/2。現在我們有所發現了！
這種構造稱為 Smith-Volterra-Cantor 集或胖康託集。康託集的（一維）測度為 0，因為我們從起始區間移除了所有長度，但胖康託集有一些肉——具體來說是完整區間 [0,1] 的一半肉。但是肉在哪裡？根據設計，胖康託集沒有實心區間。我們要求每次看到一個區間，我們都會移除它的一部分。不知何故，有一些長度在那裡徘徊，但它不是以我們熟悉的形式徘徊。如果我們試圖抓住它，我們只能抓住塵土。
康託集挑戰了我對小和大事物的直覺。胖康託集更是顛覆了我的直覺。當一個物體沒有小線段在其中時，它怎麼能有明顯的長度呢？好吧，這不完全公平。區間 [0,1] 中所有無理數的集合的一維測度為 1，所以它和整個區間一樣“長”，這似乎並不太違反直覺。無理數無處不在。你隨便揮舞棍子都能碰到一個。在數學上，我們說它們在區間中是稠密的，或者在所有實數的集合中是稠密的，這意味著我們選擇的區間的每一個小片，無論多麼小，都將包含無理數。稠密度，或缺乏稠密度，使胖康託集更加奇怪。胖康託集在 [0,1] 區間中不是稠密的，甚至在其中的任何較小區間中也不是稠密的。無論您放大多少倍，您都能夠找到沒有任何胖康託集點的完整區間。我們將這樣的集合稱為無處稠密。
我們構造的胖康託集的長度為 1/2 並沒有什麼特別之處。事實上，透過改變每一步移除的區間的大小，我們可以得到我們想要的那麼薄或那麼胖的康託集，在合理的範圍內。我們無法得到一個實際達到長度 1 的胖康託集，但我們可以儘可能接近我們想要的程度。無論我們把胖康託集做得多大，它們都不會有任何完整的區間，而且它們將是無處稠密的。它們裡面有一些東西，但它在哪裡呢？
我第一次看到康託集是在康託函式的構造中，我上個月寫了關於康託函式的文章。康託函式，或稱魔鬼階梯，向我們展示了與微分和積分相關的微積分基本定理的一些侷限性。胖康託集也可以做到這一點。具體而言，義大利數學家維託·沃爾泰拉（Vito Volterra，1860-1940）使用這些集合之一來構建一個函式，該函式是可微的，但其導數不可積分。
我將用這張沃爾泰拉函式的圖片激起您的一點興趣。它非常狂野，您可以從維基百科或David Bressoud 的講座幻燈片中瞭解更多資訊。它可能會顛覆您的思維。
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