我最喜歡的一些空間：康託的漏帳篷

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

我必須承認，在寫關於 π-Base（一個收集有趣數學空間資訊的網站）之前，我並不知道康託的漏帳篷。它的名字非常奇特有趣，以至於我不得不瞭解更多關於它的資訊。在閱讀關於漏帳篷之前，您可能需要熟悉康託集——幸運的是，我在三月份寫過關於它的文章。

為了構造康託的漏帳篷，有時也稱為 Knaster-Kuratowski 扇，您首先需要將康託集放在歐幾里得平面的 x 軸上，並新增點 p=(1/2,1/2)。然後，您用直線將康託集中的每個點連線到點 p。此時，我們有了一個漂亮的防水帳篷。

現在我們在上面戳洞。康託集中有兩種型別的點。一些點，如 0、1/3 和 1，是被移除區間的端點，而另一些點，如 1/4，則不是。我們將分別考慮這兩種型別的點。對於康託集中的每個點 x，我們都有一條連線 x 到 p 的線。我們將修改這些線。

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如果 x 是一個端點，我們只考慮線上 y 座標為有理數的點。如果 x 不是端點，我們只考慮線上 y 座標為無理數的點。現在，從康託集到 p 的每條線都已被完全打碎。

令人驚訝的是，我們並沒有只剩下平面上散落的點。康託的漏帳篷是連通的。

要定義一個空間連通意味著什麼出乎意料地困難，但當我在寫關於拓撲學家的正弦曲線時，我嘗試過。基本上，如果我們找不到兩個集合 A 和 B，使得空間的一部分在 A 中，一部分在 B 中，並且空間 A 和 B 不重疊，那麼該空間就是連通的。（我們還需要一個技術條件，即 A 和 B 是開集，這意味著在每個集合中的每個點周圍，都有一個也位於該集合中的“blob”。如果您想了解更多詳情，請檢視上個月的帖子。）

我們在康託的漏帳篷上戳了很多洞，所以它看起來肯定應該是斷開連線的。如果您試圖從康託集中的一個點走到點 p，您是無法做到的。但不知何故，這還不太夠。

康託的漏帳篷是連通的完整證明非常複雜，所以我在這裡留下一個連結供勇敢的讀者參考。我思考這個問題的方式是從嘗試將帳篷放入兩個獨立的開集 A 和 B 開始。點 p 很特殊，所以我首先處理了它。它必須在集合 A 或集合 B 中，所以不妨設它在 A 中。然後因為 A 和 B 都是開集，所以在 p 周圍必須有一個完全位於 A 內的“blob”。這個“blob”必須包含來自所有線的點，所以某些線上必須在某處有一些過渡點，這樣一些線才能在 B 中有點。準確地找出哪裡出了問題是樂趣（和挑戰）所在。

康託的漏帳篷是連通的，但只是勉強連通。頂部點 p 就像掛在毛衣上的線：如果您拉一下它，整個東西就會散開。當我們移除 p 時，集合不僅變得斷開連線，而且變得儘可能地斷開連線。您可以很容易地將其分成兩個不相交的部分：其中一部分包含 x 座標小於 1/2 的點，另一部分包含 x 座標大於 1/2 的點。但它甚至更混亂：新集合（有時稱為康託帳篷）中沒有兩個點在同一個連通部分中。對於任意兩個點，您總能找到一種方法將康託帳篷分成子集，使這些點彼此分離。康託的漏帳篷只有一個連通部分，但康託帳篷有無限多個，而且它們只是單個點。如果您對術語感興趣，p 被稱為離散點，而沒有任何大於一個點的連通部分的集合被稱為完全不連通。

如果康託的漏帳篷對您來說還不夠，那麼還有一個相關的空間叫做康託的更漏的帳篷，它顛倒了有理數和無理數的高度。即使有理數和無理數的集合都是無限的，但無理數更多，因此這些集合並非完全可互換。在康託的漏帳篷中，康託集的可數個端點與線上到 p 的可數個有理點配對。更漏的帳篷將可數個端點與不可數個無理點配對，並將不可數個非端點與可數個有理點配對。這種不匹配足以在很大程度上改變某些屬性，並證明了嚴格證明對數學家的重要性。我上面概述的論點似乎適用於這兩個集合，但雖然漏帳篷是連通的，但更漏的帳篷不是。要了解更多關於康託的更漏的帳篷的資訊，請檢視這個 Math Stackexchange 帖子。

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