我最喜歡的一些空間：安託萬項鍊

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點

有時候，在有趣的數學例子的世界裡，似乎所有的道路都通向康託集。或者，也許更像是所有的道路都從康託集開始。我在這裡的第一篇“我最喜歡的空間”帖子是關於康託集的，我寫這篇文章是因為我想寫一個基於康託集的函式，我覺得我試圖在一篇文章中塞進太多的內容了。我們最近的“我最喜歡的定理”節目以重要的方式介紹了康託集和一個相關的空間，康託塵。感覺我走到哪裡，都會遇到康託集。

不過，我感覺說這個康託集有點奇怪，因為對於我今天寫的空間，稱之為一個康託集更有意義。標準的中間三分之一構造，您可以在這裡閱讀，只是思考具有三個特定數學性質的空間的一種方式。任何具有這些性質的空間都可以稱為康託集，並且在某種意義上，中間三分之一構造沒有什麼特別之處。它只是到達具有一些特殊性質的空間的一種方便方式。

關於支援科學新聞

如果您喜歡這篇文章，請考慮透過以下方式支援我們屢獲殊榮的新聞報道 訂閱。透過購買訂閱，您正在幫助確保關於當今塑造我們世界的發現和想法的具有影響力的故事的未來。

以下是規則。

• 首先，空間必須是完全不連通的，這意味著沒有兩個點位於空間的同一個“塊”中。像圓形這樣的空間將是連通的，因為所有的點都在同一個塊中。看起來像兩個相互連線的圓的空間將是不連通的，但有兩個各自連通的部分。然而，對於中間三分之一的康託集來說，任何兩個點之間都有一定的有限距離，並且構造保證在集合中不會留下該長度的線段。

• 其次，空間必須是緊緻的，現在這意味著它完全包含在某個有限半徑內，並且包含集合中所有接近某個極限的點，恰當地稱為極限點。經典的例子是區間 (0,1)，所有大於 0 小於 1 的點都不是緊緻的，因為你可以想象一系列點接近 0 和 1 的極限，但是這些點不包含在該集合中。另一方面，包含端點 0 和 1 的區間 [0,1] 是緊緻的。

• 第三個條件與第二個條件有點相反。在緊緻空間中，每個極限點都必須是空間的一部分。這裡，空間中的每個點都必須是一個極限點。另一種思考方式是，沒有點遠離集合中的所有其他點。每個點都有附近的鄰居。此屬性稱為完美集。

所有完全不連通的、緊緻的、完美的集合都是康託集，無論它們是否來自中間三分之一構造，並且所有康託集都彼此同胚，這意味著有一種方法可以將其中一個空間連續地揉捏到另一個空間並再次揉捏回來。

我寫這個相當長的序言，是為了真正描述安託萬的項鍊，因為它是一個康託集，它不能立即被識別為等同於中間三分之一構造，我不想糾纏於試圖在這裡挖掘中間三分之一構造。安託萬的項鍊是一個康託集——事實上，也許我應該說安託萬的項鍊是康託集，因為我們可以製作無數的項鍊，所有這些項鍊在某些方面相似，在某些方面又不同。這個構造最初是由法國數學家路易斯·安託萬在 1921 年的論文中描述的，但我參考了 Beverly Brechner 和 John Mayer 的《大學數學雜誌》文章來撰寫這篇文章。

我們可以分階段構建安託萬的項鍊。我們從一個位於三維空間中的實心環面（甜甜圈形狀）開始。這是安託萬項鍊的第 0 層。

現在我們用一個較小的環面鏈替換環面，該環面鏈完全位於第一個環面內，以獲得構造的第 1 層。有多少個較小的環面？隨你喜歡！Blacklemon67 是將安託萬項鍊圖片上傳到 Wikimedia Commons 的慷慨的人，他選擇了 18 個，所以我們也使用 18 個。

現在我們用另一條較小的環面鏈替換鏈中的每個環面，在這種情況下，再次為 18 個。

您可能正在感覺到一種模式。在每個階段，我們都用一條較小的環面鏈替換每個環面，並且我們永遠這樣做。

要驗證安託萬的項鍊是否是康託集，我們必須檢查它是否滿足上述三個條件。我不想在這裡深入細節來破壞您的樂趣，但是您可以檢視 Brechner 和 Mayer 的文章以獲取更多資訊。

安託萬的項鍊說明了一個關於數學中空間等價方式的微妙事實。同胚是等價的一種形式。所有康託集都是同胚的，這意味著有一種方法可以以連續的方式將我們的安託萬項鍊之一的點對映到康託集的點，以便從康託集到安託萬項鍊的函式的反向版本（或逆函式）也是連續的。

但是，我們可以要求另一個更強的等價定義。我們可以要求從一個數學物件到另一個數學物件的這個連續函式以及連續的逆函式也是周圍兩個物件的環境空間的同胚，這基本上意味著它不僅必須對數學物件友好，而且對物件所在的整個宇宙都友好。這稱為環境同胚。就康託集和安託萬項鍊而言，我們做不到這一點。這不僅僅是因為我們通常認為康託集存在於二維空間中，而安託萬項鍊存在於三維空間中。我們還可以將中間三分之一的康託集放在三維空間中，仍然會遇到問題。事實上，如果我們在構造的每個級別選擇的數字不是 18，那麼我們獲得的安託萬項鍊在這種更強的意義上也不會等價。關於在特定步驟中要包含的環面數量，我們可以做的每一個選擇都會給我們帶來一條新的項鍊。我們可以透過觀察它們周圍發生的情況來看到這些空間不具有這種更強的環境同胚。

研究空間屬性的一種重要方法是觀察空間中迴圈的行為。您可以想象在中間三分之一的康託集（位於三維空間中）之外繪製一個迴圈，並說服自己可以透過滑動迴圈使其擺脫空間。康託集將無法阻礙迴圈。但是，用安託萬的項鍊來想象就比較困難了。現在，僅僅因為更難想象並不意味著我們做不到，但事實就是這樣。從圍繞安託萬項鍊的空間中的一個迴圈開始，該迴圈穿過第一步中實心環面的中心，就好像您將項鍊本身串到另一條項鍊上一樣。我們永遠無法將迴圈完全從安託萬的項鍊中解開。正如 Brechner 和 Mayer 所說，這就像項鍊是由沒有被任何細繩串在一起的微小珠子製成的，但仍然不會散開。

我真的很喜歡安託萬的項鍊，因為它在某些方面就像是孩子們的遊戲。我記得我小時候多麼喜歡用由迴圈組成的迴圈來製作迴圈。但是，您可以讓孩子們的遊戲引導您發現一些微妙而深刻的數學知識。

感謝北卡羅來納大學阿什維爾分校的數學教授馬克·麥克盧爾告訴我安託萬的項鍊，並指出了我發現非常有用的 Brechner 和 Mayer 的文章。 他的網站有一個您可以玩耍和拖動的安託萬項鍊模型，以及許多其他有趣的數學玩具，包括我在關於杜阿迪兔子的帖子中提到的這個朱利亞集探索器。

閱讀更多我最喜歡的空間： 康託集 胖康託集 拓撲學家的正弦曲線 康託的漏水帳篷 無限耳環 具有兩個原點的直線 有兩個房間的房子 法諾平面 環面 三環面 莫比烏斯帶 長直線 空間填充曲線 沃利斯篩 沿狹縫貼上的兩個環面 空集 門格海綿 四個霍普夫環的連通和 波羅米安環 謝爾賓斯基三角形 單位正方形上的字典序 SNCF 度量 曼德勃羅集 法圖的薄餅 偽球面 杜阿迪兔子 龐加萊同調球面 科瓦列夫斯卡婭陀螺 一個有6個孔的環面 實射影平面 一維球面 尼斯湖水怪 科赫雪花 雙圓柱 懸鏈面 SO(3) 偽菱形立方八面體 莫澤紡錘體 阿涅西的女巫