2017年7月31日

我最喜歡的空間：一個六孔環面

一切都從一個五邊形開始...

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

在我的上一篇文章中，我寫了如何將“展開”一個矩形檯球桌變成環面，或者說是一個百吉餅或甜甜圈的表面。這篇文章是閱讀本文的良好背景。矩形是展開多邊形以獲得表面的一個簡單例子。它的四個角拼合在一起，總共達到完美的 360°，這使得它幾乎太簡單了。我想看看我是否真的理解了如何透過嘗試另一個例子來展開臺球桌。

當瑪麗安·米爾扎哈尼在 2014 年贏得菲爾茲獎時，我驚訝地發現，關於她和另一位菲爾茲獎得主阿圖爾·阿維拉的作品的影片中都出現了五邊形中的檯球（在 Quanta 關於米爾扎哈尼的影片中1 分 20 秒處和關於阿維拉的影片中1 分 00 秒處）。所以幾天前，我決定展開一個五邊形檯球桌，看看它會形成什麼表面。

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我們可以展開五邊形的一種方法是沿著五邊形上的軌跡，就像我們對矩形所做的那樣。但這真的沒有必要。沿著一個點的軌跡繞圈走的重要之處在於，最終我們看到了矩形以每種可能的方式旋轉和反射，從而保留了它的頂點。所以我從一個單獨的五邊形開始，並標記了邊緣以幫助我記賬。然後我沿著一條邊展開它，並記錄了哪些標籤去了哪裡。

然後我重複這個過程，直到我沿著每個可能的邊緣都反射了它。我的作品比上面的計算機生成影像要凌亂一些。我用紙和一堆彩色筆和鉛筆在紙上完成了它。它沒有像米爾扎哈尼巨大的紙質塗鴉那樣宏大，但它對我來說很有效。最後，我有五個雙五邊形的副本。（還有一點草稿。）

將矩形轉換為環面很容易視覺化。將五個八邊形集合與一堆標記的邊緣一起，並弄清楚當您將所有邊緣粘合在一起時，甜甜圈將有多少孔，這有點不太直接。

我記錄了標籤，並且知道應該將哪些邊緣粘合在一起，但我還需要一個成分來計算我的表面中的孔數：高斯-博內定理。

高斯-博內定理是一個神奇的定理（不完全是我最喜歡的，但也很接近），它將曲面的曲率與其拓撲結構聯絡起來。它部分指出，多孔甜甜圈的總曲率為2π(2-2g)，其中g是虧格，或表面具有的孔數。因此，只有一個孔的甜甜圈的總曲率為 0。當然，曲率有一個技術定義，但將其視為表面彎曲的程度就可以了。平坦的東西曲率為 0，像球體一樣圓形的東西具有正曲率，而像馬鞍形一樣的東西具有負曲率。

在我們的例子中，我們展開的多邊形是完全平坦的。因此它們的表面不會對總曲率產生任何貢獻。但是當我們把它們粘合在一起時，我們會得到一些頂點，它們的周圍角度超過 360°。曲率就在這裡。當我們把矩形粘合在一起時，我們很幸運，四個直角加起來正好是 360 度。在雙五邊形的情況下，稍微多記一些賬就可以看出，我們在表面上有 5 個奇怪的點，每個點的周圍角度為 1080°（6π 弧度）。這些點有點像停車場：如果你一直繞著其中一個點轉，你旋轉 360° 後不會回到你開始的地方。

由於原因需要比這篇博文更長的時間來解釋（你只需要相信我的話），每個特殊點周圍的超額角度（即，超過 360 度或 2π 弧度的量）會影響表面的總曲率。（它帶有一個負號，因為它使表面更具負曲率，像馬鞍而不是球。）因為五邊形是平坦的，所以所有曲率都存在於頂點處，所以我們可以使用高斯-博內定理，以及對錶面有多少超額角度的計算，來計算其虧格。五個奇怪的點每個都對錶面貢獻了 720°（4π 弧度）的負曲率。總共為 -20π。將其代入高斯-博內定理，我們看到 2π(2-2g)=20π。我們可以消除每邊的幾個因子，得到 2g-2=10，因此 g=6。

當我最終使計算結果成立時，我真的很高興。當我查閱一些檯球參考文獻並發現我做對了時，我更加興奮！有關多邊形中臺球的更多資訊，請檢視這些參考文獻
檯球和平面，作者：戴安娜·戴維斯（Diana Davis）（面向數學背景較少的人）
檯球的共形幾何，作者：勞拉·德馬科（Laura DeMarco）（面向數學家）

就是這樣！五邊形展開成一個虧格為 6 的表面，或一個六孔環面。即使一個單獨的五邊形看起來與像那樣大的複雜表面相去甚遠，但粒子在任一表面上的流動行為都是相同的。分析一個可以解釋另一個表面上發生的事情。我必須承認，我看不出展開的五邊形粘合在一起作為虧格為 6 的表面會是什麼樣子，但我無論是否可以視覺化它，都能夠進行分析。話又說回來，我可能不得不拿出一些布料和線，為埃莉 L 形桌子製作一個同伴，埃莉是我最喜歡的柔軟而<0xC2><0xA0>有彈性的虧格為 2 的表面。