π日談不同的π

本文發表在《大眾科學》的前部落格網路中，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

不，不是這種派。圖片：flickr/djwtwo。

符號π在數學中是過載的：根據上下文和大小寫，π可以是大家熟知的常數（或者討厭的），一個投影，一個乘積或一個函式。關於圓周率常數已經有大量的東西可以閱讀，所以今天我來寫寫其他的π之一。

今天的π是素數計數函式。（素數是一個只能被1和它自身整除的整數。素數不能以有趣的方式寫成兩個其他整數的乘積。）函式π(x)很容易理解：對於任何正數x，π(x)告訴你小於或等於數x的素數有多少個。所以π(1)是0，因為沒有小於2的素數，π(2)=1，因為2是素數，π(3)=2，因為2和3都是素數，π(4)=2，等等。

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我一直在思考π(x)，因為我最近發現了推特賬號@_primes_。每小時的半小時，它都會發推文下一個素數。（詳情請見github。）例如，幾周前，它釋出了這個素數，離 π ×10,000 不遠。

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— 素數 (@_primes_) 2014 年 2 月 20 日

當然，當我發現這個賬號時，我腦海中出現的第一個問題是，我們需要多久才能讓 Twitter 的 140 個字元限制阻止 @_primes_ 發推文下一個素數。換句話說，有多少個素數小於 10¹⁴¹？（這是一個 1 後面跟 141 個零，是第一個不適合發推文的整數。）這就是素數計數函式的作用。我需要知道 π(10¹⁴¹) 的值。這距離 @_primes_ 必須收起它的小球回家還有多少個小時。

我趕緊去查 π(10¹⁴¹)。搞定了。好吧，算是吧。唯一的問題是我們實際上不知道 π(10¹⁴¹) 是什麼。大數很大，而且它們的大是難以理解的。寫出 10¹⁴¹ 只需幾個字元，但它是一個大得不可能的數字。已知宇宙中只有大約 10⁸⁰ 個原子，因此 10¹⁴¹ 是 10⁶¹ 個宇宙中的原子數。所有這一切都表明，我們不知道 π(10¹⁴¹) 是什麼，我應該不會感到驚訝。事實上，我們知道 π(x) 精確值的最大數x是10²⁴。這是一個非常非常大的數字，但只是 10¹⁴¹ 的一個很小的很小的分數。

幸運的是，我們有素數定理，它幾乎和知道 π(10¹⁴¹) 一樣好。素數定理告訴我們，當 x 越來越大時，π(x) 接近比率 x/ln x，其中 ln 是自然對數，或以 e 為底的對數。估計值隨著 x 越大而越好，因此數字 10¹⁴¹/ln 10¹⁴¹ 是我們在 Twitter 上可以容納多少個素數的很好估計。而那個數字也是...大得不可能。具體來說，它大約是 3×10¹³⁸，或 10⁵⁸ 個宇宙中的原子數。哎呀！

還記得我說大數很大嗎？我不太擅長推理大數。現在對我來說很明顯，10¹⁴¹/ln 10¹⁴¹ 應該只比 10¹⁴¹ 小几個數量級，但當我第一次看到它時，我感到很驚訝。10¹³⁸ 對我來說太大了！但這是真的。與 10¹⁴¹ 相比，10¹³⁸ 相當小。

這個計算消除了我擔心 @_primes_ 發出令人愉快的推文只剩下幾年的恐懼。3 × 10¹³⁸ 小時大約是 3×10¹³⁴ 年，或宇宙年齡的 2.5×10¹²⁴ 倍。在一個不確定的世界中，有一件事是肯定的：在字元限制阻止 @_primes_ 發推文下一個素數之前，你、Twitter、我們的太陽和我都會早已死去。真是鬆了一口氣！

*哎呀，10¹⁴⁰，一個 1 後面跟 140 個零，是第一個不適合發推文的數字，而不是 10¹⁴¹。我保持了帖子中的數字不變。如果你需要更精確的估計值，你可以將相同的分析應用於 10¹⁴⁰ 而不是 10¹⁴¹。別擔心，在字元限制阻礙 @_primes_ 機器人之前，還有很長一段時間！