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素數通常被描述為數學的“原子”，或者至少是數字的原子。一個素數恰好有兩個不同的因數：它本身和 1。（因此，1 不被認為是素數。）所有大於 1 的整數要麼是素數，要麼是素數的乘積。
一個好奇的人可能會問關於素數的第一個問題是素數有多少，而最早證明素數有無限多個的證明之一是來自歐幾里得《幾何原本》的一個可愛的論證。
歐幾里得的證明從一個有限的素數列表開始，並描述了一種生成列表中沒有的素數的方法。如果你的素數是 p1, p2, p3,…,pn，則將它們全部相乘：p1×p2×p3×…×pn 並加 1。這個數，p1×p2×p3×…×pn +1，不能被我們列表中的任何素數整除；當我們用其中一個素數除它時，餘數是 1。因此，有限的素數列表是不完整的。
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關於這個證明的一個常見誤解是，數字 p1×p2×p3×…×pn +1 本身必須是素數。情況不一定如此。為了理解原因，我們可以開始思考，如果我們從第一個素數 2 開始，並使用歐幾里得證明中的過程來尋找新的素數，我們會得到什麼數字。第一個很容易：2+1=3，3 是素數。為了找到下一個數字，我們將 2×3 相乘並加 1 得到 7，它是素數。繼續：2×3×7+1=43，也是素數。2×3×7×43+1=1807，它是 13×139。
歐幾里得-穆林序列是一個以 2、3、7、43、13 等開始的序列：第一項是 2，隨後的每一項都是 1 加上所有先前項的乘積的最小素因數。它是整數序列線上百科全書中的序列 A000945。
（題外話：歐幾里得-穆林序列是數學中命名時間跨度最大的多同名術語嗎？歐幾里得，或者撰寫歐幾里得《幾何原本》的人或群體，生活在公元前 300 年左右的亞歷山大里亞；美國數學家和工程師阿爾伯特·穆林出生於 1933 年，卒於 2017 年。如果您知道一個術語是以生活在相隔 2200 多年的人命名的，請在Twitter上告訴我。）
肯·裡貝特在我和我的聯合主持人凱文·努森為我們的播客我最喜歡的定理與他交談時提到了歐幾里得-穆林序列，從那時起它就一直在我的腦海中縈繞。該序列有無限多項，但我們只知道其中的 51 項。隨著項數的增加，我們遇到了非常大的數字，這些數字需要很長時間才能分解，部分原因是該序列的跳躍性很大。第七項是數字 5，但第九項有 14 位數字！查詢序列的第 52 項需要分解一個 335 位數字。
我們不知道每個素數是否都出現在歐幾里得-穆林序列中。已知沒有出現在列表中的最小素數是 41。選擇最大而不是最小的素數的相似序列，該素數可以整除1 加上先前項的乘積避免了無限數量的素數。如果歐幾里得-穆林序列確實避免了一些素數，為什麼？我們能否檢視一個素數並判斷它是否在該序列中？
我被可愛又有趣的數學所吸引，所以我希望歐幾里得-穆林序列包含所有素數。我喜歡它會給我們提供一個將素數放入其中的新自然順序這一事實。這就像將字母按其發音的字母順序排列一樣
HRABDWEFXLMNSIJGKQOPCTVYUZ（發音拼寫有點爭議，您的里程可能會有所不同）。
另一方面，如果我們能夠以某種方式確定該序列不包含所有素數，但我們無法弄清楚哪些素數永遠不會出現，那不是很可笑嗎？我認為，最不有趣的選擇是有人找出一個簡單的規則，該規則將確定一個數字是否在歐幾里得-穆林序列中。但是，嘿，一線希望是，我們實際上可能會因此對素數有一些瞭解！