本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
四色定理在數學界相當有名，原因有幾個。首先，它很容易理解：平面或球體上的任何合理地圖（換句話說，我們世界的任何地圖）都可以用四種不同的顏色著色，這樣任何兩個相鄰的國家都不會共享一種顏色。
其次，計算機在四色定理的證明中發揮了重要作用。該定理於 1852 年被提出作為一個猜想，但人們直到 1976 年才能夠證明它，當時肯尼斯·阿佩爾和沃爾夫岡·哈肯將問題簡化為若干（準確地說是 1936 個）特定情況，並編寫了一個計算機程式來檢查每種情況。這是第一個使用計算機證明的主要定理，對於某些人來說，它引發了關於證明定理的意義的問題。這個計算機證明“算數”嗎？數學家很快就要過時了嗎？人們仍在爭論計算機在數學證明中的作用以及數學作為人類事業的未來。
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但這並不是我今天要談論的內容。相反，我想玩得開心，給地圖著色。幾周前，我拜訪了一位在社群學院擔任數學講師的朋友。她正在為中學生的推廣活動做準備，她要談論的主題之一是四色定理。
我們倆對四色定理都不是那麼熟悉，所以我們做的第一件事是弄清楚定理的規則到底應該是什麼。似乎很明顯，如果一個人足夠調皮，他可以繪製出不符合定理的奇怪地圖。稍微塗鴉了一下後，我們發現不連貫的區域是不行的。如果一個國家分成兩塊（比如美國，阿拉斯加和美國本土 48 州是兩個獨立的區域），你就不能保證這兩個區域可以被塗上相同的顏色，並且仍然得到一張四色可著色的地圖。更難弄清楚的是，一個國家不應該有洞，或者完全包圍另一個或多個國家。** 非洲是四色可著色的，但嚴格來說，完全包圍賴索托的南非不符合定理的假設。此外，僅在角落接觸的區域，如猶他州和新墨西哥州，可以塗上相同的顏色。如果沒有這條規則，我們可以建立一個披薩形狀的國家，其中包含任意數量的切片形狀的州，並且每個州都需要自己的顏色。
接下來顯而易見的問題是，是否有任何地圖實際上需要四種顏色。畢竟，在四色定理之前，有一個五色定理。我們真的應該有一個三色定理嗎？不。有些地圖需要四種顏色。一個現實世界的例子是奧地利。它被七個*國家環繞，正如你在下面的圖片中看到的，這造成了一個問題。
在我們弄清楚四色定理的規則之後，我們想看看想出一個地圖的四色著色是容易還是困難。我的朋友列印了一張歐洲大陸的地圖，減去了斯堪的納維亞半島的大部分地區（只是為了讓它足夠大，以便令人滿意地著色。我們對斯堪的納維亞半島沒有任何意見。嗯，鹹甘草！），然後我們開始著色。這實際上非常舒緩。我製作的第一張地圖，我試圖保持顏色的良好平衡。我從奧地利開始，因為我知道這是一個有問題的國家（不是在現實生活中！嗯，炸肉排！），並且在立陶宛附近有一個時刻，我差點搞砸了，創造了對第五種顏色的需求，但我設法避免了它。我的結果地圖在這篇文章的頂部。
對於我的第二張地圖，我的目標是“最少”的四色著色，這意味著我可以用前兩種或三種顏色完成多少？我從西部開始，並嘗試儘可能多地使用橙色和藍色。然後我儘可能多地使用紫色，然後再求助於綠色。我最終只使用了四個綠色國家，儘管我確實將它用於烏克蘭，烏克蘭很大。
我的“貪婪”著色可能不是最優的。我只是在從左到右移動時隨意製作的，並且可能有更好的方法來做到這一點，以最小化著色為紫色和綠色的國家數量或地圖的總面積。我已經看到，僅透過切換波蘭和烏克蘭，我就可以減少綠色的使用，而不會弄亂任何其他東西。這讓我好奇，人們可能會如何開發一種演算法來最小化使用第四種顏色的國家數量或面積，以及是否有時可能會以增加第四個國家的另一個國家為代價來最小化面積。
我在給地圖著色時沒有學到任何深刻的東西，但如果我從事證明關於地圖的定理的業務，這可能是一種發展我的直覺的好方法。我的“貪婪”著色幫助我提出了一些關於地圖著色的好問題，而在數學中，提出好問題幾乎與能夠回答問題一樣重要。如果您想發展您的四色著色技能，這裡有一個歐洲的可著色地圖：這裡。
*奧地利實際上被八個國家環繞，但列支敦斯登與奧地利的邊界完全被瑞士與奧地利的邊界包圍，因此它不會改變所需顏色的數量。換句話說，如果瑞士吞併了列支敦斯登，我們仍然需要四種顏色來為奧地利周圍的地圖區域著色。但如果它吞併了德國，我們只需要三種顏色。這實際上是一個奇偶問題。在美國地圖上，您可以比較內華達州周圍的區域和猶他州周圍的區域，以自行研究這種現象。
**2013 年 3 月 5 日更新：這句話是不正確的，下一句也是如此。我寫了一篇後續文章，描述了為什麼有孔洞的區域不會干擾四色可著色性。