本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
我為《自然新聞》寫了一篇文章，內容是關於近期一項關於素數意外發現。一個以 1 結尾的素數不太可能緊跟著另一個以 1 結尾的素數，這種可能性比隨機機率所預測的要低。這一發現更具普遍性，它擴充套件到所有素數，而不僅僅是以 1 結尾的素數，並且涵蓋了除 2 以外的任何基數中的最後一位數字。如果您想親自閱讀，他們的論文在 arXiv 上。
這個結果令人驚訝，因為素數雖然絕對不是隨機的，但看起來行為卻像隨機數。正如埃麗卡·克拉賴希在她（一如既往地出色）關於這一現象的 Quanta 文章中所寫的那樣，將素數視為本質上是隨機的“在預測真實素數的某些特徵方面做得非常出色，例如，預測兩個連續完全平方數之間有多少個素數。” 如果我們假設素數是隨機的，我們預計 1 後面跟著 1 的機率為 25%；對於十億以下的素數，實際數字是 18%。
斯坦福大學數學家羅伯特·萊姆克·奧利弗和坎南·桑達拉拉揚注意到了這種模式，他們使用哈代-李特爾伍德 k 元組猜想來解釋這種現象。在與另一位數論學家詹姆斯·梅納德討論他們的工作時，我瞭解到關於這個猜想，或者更確切地說是關於它及其姊妹猜想的一些奇特而令人不安的事情。
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k 元組猜想是關於素數分佈的兩個哈代-李特爾伍德猜想之一。它透過考慮到素數沒有小素因子的事實，改進了素數是隨機的啟發式方法。正如我在《自然新聞》文章中寫道：
其背後的想法是，存在一些不可能出現的素數配置，這使得其他簇更有可能出現。例如，連續的數字不可能同時都是素數——其中一個總是偶數。因此，如果數字 n 是素數，那麼 n + 2 是素數的可能性比隨機機率所暗示的要稍高。k 元組猜想用一個適用於所有型別素數簇的通用陳述來量化這一觀察結果。
因此，k 元組猜想給出了孿生素數、性感素數和素數三元組應該有多少個的相當精確的估計，到目前為止，這些估計與觀察到的資料非常吻合。
另一個哈代-李特爾伍德猜想是看似無害的陳述，即前 n 個數中的素數多於數軸上任何其他位置開始的 n 個數的字串中的素數。例如，100 以內的素數應該多於 900 到 1,000 之間的素數，而 1,000 以內的素數應該多於 130,000 到 131,000 之間的素數。
對我來說，這個猜想甚至比 k 元組猜想更合理，部分原因是它更直接。素數只是如此頭重腳輕！素數定理，如果曾經有過一個出色的定理，它表明素數在數軸上越遠越稀疏，並精確地說明了稀疏多少。小於 n 的素數數量與素數的位數成正比。一個 4 位數的數成為素數的可能性是一個 2 位數的一半。
100 以內有 25 個素數，1,000 以內有 168 個素數。我很難相信數軸上存在一些素數聚集得足以彌補那些非常密集區域的地方，這就是為什麼 k 元組猜想看起來如此合理。
如果您問我關於這些猜想，我會說它們聽起來都很合理，而且我並不孤單。數論巨擘G. H. 哈代和約翰·李特爾伍德在 1923 年的同一篇論文中提出了這兩個猜想，但它們不可能同時為真。1974 年，伊恩·理查茲發表了一篇論文，表明第二個猜想與第一個猜想相矛盾，並假設第一個猜想更有可能成立。今天，數論學家普遍假設第一個猜想，即 k 元組猜想，並且許多證明都以該猜想為前提。
基於數論學家的共識以及似乎支援 k 元組猜想的許多計算，我勉強接受了這樣一個事實：在廣闊的素數空間中，某個地方存在一個簇，其數量超過了第一段素數。