本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
上個月，我寫了關於透過猴子講解群論的文章，這讓我開始思考結合律。一個數學群由一系列事物組成：整數、有理數，甚至更抽象的東西；以及一種運算，可以將你的事物的任意兩個元素組合成另一個事物元素。
事物和運算要成為群必須遵守的規則之一是結合律：你組合事物的順序無關緊要。群的典型例子是整數與加法運算。在這種情況下，結合律表示，如果你要加 1+2+3，那麼先加 1 和 2，還是先加 2 和 3，都無關緊要。
加法和減法是類似的運算。在學校裡，我們通常先學習加法，然後學習減法。後來，當我們學習負數時，我們瞭解到減法只是加上一個負數。因此，如果加法遵循結合律，那麼減法似乎也應該遵循。
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但事實並非如此！在表示式 5-4-3 中，我們根據分組方式得到不同的答案。(5-4)-3=-2，而 5-(4-3)=4。同樣，減法與加法也不符合結合律。(5-2)+4=7，而 5-(2+4)=-1。
如果我們用加上負數來代替減號，問題就消失了。換句話說，如果我們看到表示式 5-4-3，我們將其轉換為 5+(-4)+(-3)。那麼答案明確為 -2，因為透過用加上負數代替減號，我們已經選擇了減法的順序。
我們可以再深入一層：負數是什麼？這是一個哲學問題，但一種思考負數開頭的負號的方式是將其視為一元減法的符號。一元運算子是隻接受一個輸入的運算子。我們最初接觸的減法是二元運算，例如 5-3，但是當我們看到負數時，我們省略並理解表示式開頭的 0。數字 -2 是 0-2 的簡寫。
當我的網際網路朋友，也是優秀數學部落格 The Aperiodical 的編輯之一發推文說
我們有一元負號，即“-2”與“0-2”相同。為什麼我們沒有一元除法，即“÷2”可以表示與“1÷2”相同的意思？— Christian Perfect (@christianp) 2014年6月17日
乘法和除法與加法和減法具有類似的關係。（以 SAT 類比的形式，願他們安息，加法：減法::乘法：除法。）乘法是“預設”運算，除法是逆運算。再一次，乘法符合結合律，但除法不符合。(12÷6)÷2=1，而 12÷(6÷2)=4。除法與乘法也不符合結合律，這是那些有時在 Facebook 上流傳的糟糕的數學問題的困惑來源。6÷2(1+2) 是模稜兩可的，因為除法與乘法不符合結合律，以及我們在如何解釋運算順序方面的不一致，運算順序有時稱為 PEMDAS、BEMDAS、BODMAS 或 BIDMAS。
一元減法是僅使用加法和減法的類似問題不模稜兩可的原因之一。因為我們非常習慣使用一元減法，所以我們自動將問題 5-4-3 做成 5+(-4)+(-3)，這與嚴格從左到右做題相同。（我不是數學符號史專家，但我注意到這可能是一個先有雞還是先有蛋的情況：一元減法的發展是因為我們致力於從左到右做加法/減法問題嗎？還是一元減法以及我們對負數的熟悉程度，使這成為處理加法/減法問題的自然方式？）
如果我們有一元除法，我們會在 Facebook 上就運算順序展開口水戰嗎？正如 Perfect 在推特上所說，標記它並不難：一元減法使用加法恆等元 0 作為理解的第一個項。類似地，一元除法將使用乘法恆等元 1 作為理解的第一個項。÷2 將表示 1÷2，或 ½，就像 -2 表示 0-2 一樣。
如果我們在像 5-4-3 這樣的表示式中以與自動使用一元減法相同的方式使用一元除法，那麼 6÷2(1+2) 可能意味著 6×½×(1+2)，而 9 將是明確的答案。一元除法將為我們選擇進行除法和乘法的順序。它將加強乘法和除法具有相同的優先順序並且應該從左到右執行的觀念。
但是這個問題中歧義的另一個來源是缺少乘號：2(1+2) 表示 2×(1+2)。當不帶乘號書寫時，有時稱為“並置乘法”。有些人將並置乘法解釋為優先於使用乘號的乘法。因為沒有並置加法這種東西，所以不清楚在一個也有一元除法的世界中，我們將如何處理並置乘法。（播放戲劇性的電影預告片音樂，配音：“在一個擁有一元除法的世界裡……”）
臭名昭著的 Facebook 問題的答案不是 1 或 9，而是首先在表示式中新增更多括號，以使其不再模稜兩可！數學符號不是上帝賜予的神聖卷軸，我們必須正確解釋它，而是我們為了使交流更輕鬆而創造的東西。如果我們有被誤解的危險，我們應該只新增幾個符號來澄清它。