本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
週二，《大眾科學》迎來了 167 歲生日。這看起來不像是我們通常慶祝的那種週年紀念日，因為我們十進位制規範的數字系統過分重視以零和五結尾的數字，但 167 是一個非常棒的數字。首先，我們可以插入兩個符號使其成為正確的數學語句：1 + 6 = 7。這不是很棒嗎？但這還不是全部。
也許最適合我們生日派對的是，167 是一個快樂數。（是的，這是一個技術術語。）這個術語的起源未知，但要確定一個整數是否是快樂數，我們只需不斷重複將各位數字的平方相加的過程。如果我們最終得到數字 1，則該數字是快樂數。對於 167，我們得到 12 + 62 + 72 = 1 + 36 + 49 = 86。然後我們重複：82 + 62 = 64 + 36 = 100。我們快到了：12 + 02 + 02 = 1。我們成功了！直到 2021 年，我們的 176 週年紀念日（請注意，這些數字分別是當年年份和週年紀念日的數字字謎）我們才會再次快樂，並且在 1 到 10122 之間的數字中只有 15.5% 是快樂數，所以我們應該好好享受它。
如果我們將視野擴充套件到十進位制數字系統的約束之外，我們可以更多地玩轉 167。無論何時您寫下一個數字，您都在隱式地使用一個基數，無論您是否意識到這一點。通常我們使用十進位制，這意味著數字最右邊的位置是個位（100），左邊下一個位置是十位（101），再下一個是百位（102），依此類推。但是任何數字都可以替換上面描述中的 10。例如，計算機使用二進位制，即以 2 為基數的系統。要用二進位制寫 167，我們首先將其寫成 2 的冪之和：167 = 128 + 32 + 4 + 2 + 1。這變為 27 + 25 + 22 + 21 + 20，在二進位制中是 10100111。
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因此，也許我們應該探索不同的基數，看看 167 在其中任何一箇中是否看起來更好。偶爾有人會提倡十二進位制（以 12 為基數）系統，它已經在我們的時鐘、標尺和雞蛋盒中有所體現。但是 167 在十二進位制中是 11B，這聽起來更像是一部古怪情景喜劇中的公寓，而不是一個體面的數字。（對於大於 10 的基數，我們使用字母來表示數字 10、11 等，因為我們沒有剩餘的數字。B 指的是 11。）十六進位制，即以 16 為基數，它與二進位制一起用於計算機程式設計，也好不到哪裡去：A7。
也許我們可以透過搜尋小於 10 的基數來找到更好的結果。那麼我們肯定不會在我們的數字中陷入任何字母。數字 167 比 9 的倍數大 5，因此在一些可以被 9 整除的基數中，它以 5 結尾，這看起來比那個笨拙的 7 更具慶祝意義。（當然，這隻對我們習慣於十進位制的眼睛來說顯得特別；如果我們用九進位制思考，數字 5 就不會具有它現在的意義。）在九進制中，167 寫成 205，但我個人更喜歡八十一進制中的 25。它簡單而苗條。（這也是《大眾科學》告訴人們她的年齡的方式。這不是謊言，而是省略了基數。）
從不同基數的角度來看 167，還會產生另一個有趣的事實：167 是一個嚴格非迴文數，這意味著在 2 到 165 之間的任何基數中，它都不能寫成迴文數（正反都相同）。（我們停在基數 165，即 167-2 的原因是，每個數字 n 在基數 n-1 中都是迴文數。它總是看起來像 11。）到目前為止，嚴格非迴文數的整數百分比尚不清楚，但 167 之後的下一個是 179，在那之後，我們將不得不等到我們 223 歲。
除了上面列出的特徵（這些特徵肯定足以保證慶祝）之外，167 還是安全素數、高餘商數和全迴圈素數等等。我真的很喜歡最後一個：它暗示存在一個 166 位長的數字，使得它的每個倍數都是數字的迴圈排列。也就是說，當您將其乘以任何其他整數時，數字完全相同且順序相同，但起始位置不同，例如 142857 x 2 = 285714。（142857 是最小的非愚蠢示例。）
《大眾科學》很高興慶祝她的 25 歲生日！（*咳嗽，八十一進位制咳嗽*）關於數字 167，您最喜歡什麼？