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詹姆斯·艾布拉姆·加菲爾德於1831年11月19日出生於今天。如果不是因為一個精神不穩定的、妄想症纏身的跟蹤者的子彈和十九世紀的“醫療”在他上任僅六個月後就奪走了他的生命，那麼今天他將是181歲（稍後會詳細介紹）。加菲爾德是一位聰明的人，在大學裡學過一些數學，但當時的文獻更傾向於強調他在佈道、辯論和英語方面的技能和興趣，而不是數學。目前尚不清楚他是如何與幾何學中最著名的定理之一聯絡起來的。
勾股定理描述了直角三角形邊長之間的關係。斜邊（最長邊）的平方等於另外兩條邊平方之和，或者更熟悉的公式是 a2+b2=c2。與許多真理一樣，有很多種方法可以證明這個定理。在 1876 年 3 月 7 日的日記中，時任俄亥俄州國會議員的加菲爾德提到，他向達特茅斯大學的一位數學教授展示了一個新的證明。同年晚些時候，該證明發表在《新英格蘭教育雜誌》（現簡稱為《教育雜誌》）上。
這篇文章只佔一列的底部三分之一，開頭寫道：“在對來自俄亥俄州的國會議員詹姆斯·A·加菲爾德將軍的個人採訪中，我們看到了他對“驢橋定理”的以下論證，這是他在與國會議員 (M. C.) 的一些數學消遣和討論中偶然想到的。我們不記得以前見過它，我們認為這是兩院議員可以不分黨派地團結起來的事情。”
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奇怪的是，“驢橋定理”（拉丁語意為“驢子的橋”）通常用於指歐幾里得《幾何原本》中的等腰三角形定理，該定理認為，在等腰三角形（兩條邊長度相同的三角形）中，與全等邊相對的角本身也是全等的。這個定理的證明有時被認為是歐幾里得經典幾何文字中的第一個具有挑戰性的問題。然而，在這種情況下，很明顯“驢橋定理”指的是勾股定理。
這張有用的圖表說明了加菲爾德的證明。在這個梯形中，兩個較小的直角三角形彼此全等，而較大的三角形是一個等腰直角三角形。它的非斜邊邊是較小三角形的斜邊。該證明依賴於用兩種不同的方法計算梯形的面積：使用梯形的面積公式和將三個三角形的面積相加。因為無論我們如何剖析梯形，面積都是相同的，所以我們最終得到了關聯較小直角三角形邊長的方程。（有關完整詳細資訊和勾股定理的更多證明，請檢視 Wolfram MathWorld 頁面上關於勾股定理的內容。）
原創性有時在於觀察者的眼中：加菲爾德的確切論證在 1876 年的期刊文章之前沒有在其他任何地方出現過，但它與古典中國天文和數學著作《周髀算經》中的一個證明極其相似，該書可能是在公元前一世紀編撰的。
加菲爾德的梯形等同於此圖沿著傾斜的粗邊正方形的對角線切割的圖形。加菲爾德不太可能見過來自該文字的證明，因為它直到 1996 年才被翻譯成英文，但相同的證明有可能出現在他確實知道的另一本文字中。
如果加菲爾德活到 181 歲，他肯定會很高興知道 181 是兩個不同的勾股陣列的一部分，勾股陣列是滿足方程 a2+b2=c2 的整數集合，因此構成了直角三角形的邊長。當然，當我們允許平方根參與時，任何整數都可以是直角三角形的邊長；勾股陣列的特殊之處在於所有三個邊長都是整數。3-4-5 可能是最著名的勾股陣列。它之所以有效是因為 32+42=9+16=25=52。包含 181 的勾股陣列是 19-180-181 和 181-16380-16381，因此 181 既是具有整數邊長的直角三角形的最長邊，也是最短邊。
如果加菲爾德做了更多數學研究，他可能會失望地意識到他的年齡並不特別：所有正整數（除了 1 和 2）都是至少一個勾股陣列的一部分。
奇數最容易理解。假設一個三角形的一條邊長為 n，另一條邊長為 n+1。這些邊的平方之差將是一個奇數。事實上，(n+1)2-n2=2n+1。因此，如果 2n+1 本身是一個平方數（例如，如果 n=4，則 n+1=5，2n+1=9，即 32），則三角形的第三條邊是一個整數，記為 √ 2n+1 。如果 k 是任何大於 1 的奇數，則其平方可以寫成 k2=2n+1，其中 n 為某個整數。在這種情況下，數字 k、n 和 n+1 構成一個勾股陣列。因此，每個奇數 k 都包含在某個勾股陣列中。
對於偶數，我們知道數字 4 出現在勾股陣列 3-4-5 中。我們還知道，如果我們將三角形的所有邊長都加倍，我們會得到一個邊長比例相同的三角形。例如，3-4-5“膨脹”為 6-8-10，這是另一個勾股陣列。有興趣的讀者可以使用這些事實來證明，每個大於 2 的偶數都作為勾股陣列的邊長出現。
不幸的是，加菲爾德總統無法來到這裡慶祝他雙重勾股定理的 181 歲生日。但也許他的勾股定理證明仍然是“兩院議員可以不分黨派地團結起來的事情”。