本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，並反映作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
我上週參加了一個數學會議，另一位與會者帶來了一個謎題。
我是一個解謎題比較慢的人，所以需要一段時間我才能弄清楚如何組裝這五個部件來得到這個。
- 組裝好的謎題的三個檢視。
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索爾·施萊默（Saul Schleimer）是華威大學的數學家，他也和我一起參加了會議；亨利·塞格曼（Henry Segerman）是墨爾本大學的數學家，他們是三十胞謎題的共同創造者。他們都是理論數學研究人員，也喜歡使用3D列印——一種透過計算機程式製造三維物體的技術——來創作數學藝術和視覺化作品。（在八月份，《大眾科學》在橋樑數學藝術會議的幻燈片展示中展示了塞格曼的一些雕塑作品。）
這個謎題是將四維形狀投影到我們三維世界的投影。為了解釋投影是如何建立的，施萊默將其降維，並從一個三維立方體開始講起。想象一個立方體位於球體內部。現在把自己放在中心位置，拿著手電筒。光線將所有的邊和頂點投影到球體的表面。“我們將我們熟悉和喜愛的普通立方體替換為球體上的圓形立方體，”施萊默說。這個過程叫做徑向投影。
從那裡，一個叫做球極投影的過程將“圓形立方體”放置到一個平坦的二維平面上。為了視覺化這一點，想象一下球體有一個穿過其赤道的平面。連線球體北極到球體表面立方體上一點的線，然後與赤道平面相交於一點。
所有這些交點的集合就是立方體的球極投影。（一般來說，球極投影可以為透過球體的許多不同平面定義，但赤道平面是本例中使用的平面。）
對於塞格曼和施萊默創造的謎題，整個過程上升了一個維度。隨附的資訊表簡潔地描述了它：“當組裝好後，三十胞謎題是四維空間中120胞體徑向投影到三維球面再到三維空間的球極投影的一部分。”
120胞體是四維空間中六個凸正則多胞形之一。這些是正則多邊形（如等邊三角形和正方形）和柏拉圖立體的四維等價物，柏拉圖立體是一類三維圖形。施萊默說，維度四是研究有趣的正則多胞形的理想維度，因為它有足夠的例子來變得有趣，但又不會太多。在二維空間中，有無限多個正則多邊形，而在五維和更高維度中，只有三種不同型別的正則多胞形。有五種三維柏拉圖立體，而四維空間有六個正則多胞形。120胞體是這六個之一。它由120個十二面體胞組成，每個頂點處匯合四個胞。
施萊默說，他和塞格曼在研究一個叫做Hopf纖維化的拓撲物件時，就開始研究這個模型。120胞體自然而然地出現在他們的工作中，他們決定嘗試將其視覺化為一個實際的三維物體，而不僅僅是計算機表示或他們腦海中的理論物體。在3D印表機上建立第一個列印模型後，施萊默和塞格曼發現了形狀的新方面。“在某種程度上，製作3D模型幫助我們發現了一些我們沒有意識到的很酷的東西。我們對它有一定程度的理解，我們製作了這個很棒的玩具，並且我們學到了新的數學知識，”施萊默說。
塞格曼和施萊默對120胞體的首次實驗產生了幾個不同的3D模型。建立整個120胞體的投影成本過高，因此他們一直在嘗試物件的不同子集。“我們很開心地找到可以進行球極投影的塊，”施萊默說。其中一個模型是這組三個環，他稱之為“指尖玩具”。
它不是一個謎題，但玩起來很有趣，並且它有幾種有趣的配置。塞格曼在這個影片中演示了它們並做了一些更詳細的解釋。
正如塞格曼所說，指尖玩具引導他和施萊默開發了120胞體的謎題版本，我現在可以玩這個謎題了。
3D列印並不新鮮，但它正變得越來越流行，並且可以用作“墨水”的介質——金屬、塑膠、糖等等——也在不斷增長。它被用於建立工程原型、古生物學研究的模型頭骨，甚至人造血管。塞格曼為《數學情報員》雜誌撰寫了一篇關於在數學中使用3D列印的文章（最終版本在此，免費預印本在此）。
塞格曼和施萊默使用Shapeways公司來列印他們的模型。他們使用Python、Adobe Illustrator和Rhino等程式來建立物件檔案，然後將這些檔案傳送給Shapeways，以便將其轉化為非常精確的3D模型。Shapeways使用計算機檔案來程式設計雷射器，將粉末熔合成3D物體的形狀。它甚至可以列印具有多個互連元件的物件，例如上面的指尖玩具。另一種流行的3D印表機MakerBot，將新材料層熔化在先前沉積的層之上，因此模型在整個過程中必須得到支撐。Shapeways沒有這個限制，但其印表機更昂貴。該公司允許人們上傳他們的模型，然後將列印好的材料運送給他們，而不是讓使用者自己擁有印表機。
施萊默賣給我的謎題是用堅韌但略有彈性的尼龍製成的。他和塞格曼還為一位朋友列印了一個更大的青銅謎題，但不幸的是，還沒有人能夠把它組裝起來。
“數學沒問題，但物理學不行，”施萊默說。塑膠模型具有幾乎難以察覺的彈性，但青銅太硬了。塞格曼和施萊默已在Shapeways網站上提供該謎題。（該網站正經歷與颶風桑迪相關的問題，因此您必須將連結新增為書籤以供以後使用。更新於11月2日：網站已恢復執行。）在那裡，如果您想親自進入另一個維度，可以訂購一個。
圖片和影片由索爾·施萊默和亨利·塞格曼提供。