本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
幾十年來，科學家們一直在試圖解決一個棘手的問題：如果網際網路上的貓圖片用完了，我們能否使用高等數學生成更多？* 數學家凱瑟琳·林賽和已故的威廉·瑟斯頓在本月早些時候在 arXiv 上發表的一篇論文緩解了人們對“貓片峰值”的擔憂。在論文中，他們描述了一種使用多項式的朱利亞集來近似貓或其他物體輪廓的方法。
什麼是朱利亞集？讓我們從一個例子開始。考慮多項式 z2，其中 z 是復變數 x+iy。為了確定朱利亞集，我們迭代這個多項式，意思是我們將一個數字代入 z，得到一個答案，然後將該答案代回原始多項式。如果我們從數字 z=2 開始，我們得到數字序列 4、16、256 等等。當我們不斷迭代時，這個序列無限增長。但是，如果我們從數字 1/2 開始，我們得到序列 1/4、1/16、1/256 等等，越來越接近 0。
透過這種方式，我們可以將 z 的可能性宇宙劃分為兩個陣營：那些走向無窮大的，以及那些保持有界的。一個多項式的填充朱利亞集是其迭代保持有界的值的集合——在我們的例子中，1/2 或 3/4 或 999/1000。
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在數字 1 處，情況發生了變化。任何小於 1 的值都保持有界，而任何大於 1 的值都趨於無窮大。數字 1 位於填充朱利亞集的邊界上。任何填充朱利亞集的邊界都是朱利亞集。
但讓我們記住，z 可以是任何複數，由實部和虛部組成：x+iy。這些複數可以繪製在普通圖表上，實部沿 x 軸標記，虛部沿 y 軸標記。那麼，對於我們的 z2 示例，朱利亞集不僅僅是數字 1，它還是複平面中半徑為 1 的圓。
林賽和瑟斯頓的工作涉及尋找朱利亞集不僅僅是枯燥的舊圓的多項式。他們想找到多項式（一般形式為 anzn +an-1zn-1+...+a1z+a0），其朱利亞集形成複雜的輪廓——也許是貓的陰影。（數字 n，z 的最大指數，稱為多項式的次數。我們的 z2 示例的次數為 2。）
對於二次多項式的朱利亞集，人們已經有了很好的理解，儘管它們通常是分形，而不是像圓這樣的簡單形狀。隨著次數的增加，情況變得更加複雜，因為高次多項式很難因式分解。（備受詬病的二次公式——我們能夠輕鬆辨別二次多項式根的原因——是我們的朋友！）人們對 3 次和 4 次多項式的朱利亞集的可能形狀瞭解甚少，但任意多項式的朱利亞集的形狀尚未被理解。
林賽是康奈爾大學的數學研究生。她的導師是約翰·斯米利，但瑟斯頓是非官方的第二導師，啟動這個研究專案是他的想法。“我當時坐在他家裡，他凝視著遠方，問道，‘我想知道朱利亞集是否可以被做成形狀，’”她說。瑟斯頓一直在致力於更好地理解曼德勃羅集，而研究朱利亞集的形狀是一項相關的追求。曼德勃羅集是最著名的分形之一，它與二次多項式的朱利亞集密切相關：想象多項式 z2+c，其中 c 可以是任何複數。如果 0 在 z2+c 的填充朱利亞集中，則數字 c 在曼德勃羅集中。
在他們的論文中，林賽和瑟斯頓證明，對於複平面中的任何簡單閉合曲線——無論多麼複雜——都存在一個多項式，其朱利亞集任意接近該曲線的輪廓。（如果一條曲線從不與自身相交，則稱為簡單曲線。您可以將簡單閉合曲線想象成您可以在桌子上排列橡皮筋的任何方式，而無需拿起它的任何部分。）換句話說，林賽說，“如果你有任何沒有孔或多個部分的形狀，它只是一個團塊，我們可以製作一個看起來非常接近該形狀的朱利亞集。” 這篇博文頂部的貓圖片是用 301 次多項式的朱利亞集對貓輪廓的近似。
他們的工作更進一步：在論文的後面，他們表明你可以透過找到每條曲線的多項式，然後以特定的方式組合它們，來近似一對不重疊的簡單閉合曲線——想象一下靶心的內外環。為了說明這一點，他們將著名的曼德勃羅集的形狀近似為外曲線，將心形近似為內曲線。
然而，他們的工作留下了許多未解決的問題。“你能製作具有多個孔，或兩個獨立的部分，每個部分都有孔的朱利亞集嗎，諸如此類，”林賽說。用具體的貓的術語來說，我們可以生成沒有眼睛的貓和眨眼的貓，但還需要更多的研究來近似具有兩隻睜開眼睛的貓或一次繪製多隻貓。
可愛的小貓、蝴蝶和心形插圖掩蓋了論文中數學聯絡的深度。這篇論文不僅僅是製作可愛圖片的秘訣，還是瑟斯頓和丹尼斯·沙利文將複平面中有理函式的迭代行為與幾何學中的高階主題聯絡起來的工作的延伸。林賽說，“這兩個領域都在研究事物的長期動態。隨著時間趨於無窮大，會發生什麼？”
林賽和瑟斯頓的論文並不是首次使用貓圖片來說明數學。阿諾德貓對映是一種反覆應用於貓圖片的線性變換。圖片似乎變得非常拉伸和混亂，但最終鬍鬚先生又會像新的一樣凝視著你。為什麼是貓？這是一個心理學問題，而不是數學問題。但林賽說，她的貓麥哲倫是論文中第一張圖片的靈感。“當我想做數學時，麥哲倫花了很多時間坐在我的論文上，所以這感覺很合適。”
*並非旨在陳述事實。科學家認為太陽會在人類耗盡貓圖片供應之前冷卻。