本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
編者注：鑑於馬丁·加德納最近去世，我們重新發表這篇來自1998年8月刊《大眾科學》的文章。加德納從1956年到1981年為《大眾科學》撰寫“數學遊戲”專欄，並在之後幾年繼續偶爾撰寫專欄。本文包括馬丁·加德納的四個謎題，是他為該雜誌撰寫的最後一篇文章。
我的“數學遊戲”專欄始於1956年12月刊《大眾科學》上的一篇關於六角怪環的文章。這些奇特的結構，透過將普通紙條摺疊成六邊形，然後將兩端粘合在一起而製成，可以反覆翻轉，顯示一個或多個隱藏的面。這些結構是由普林斯頓大學的一群研究生於1939年發明的。六角怪環玩起來很有趣，但更重要的是，它們展示了趣味謎題和“嚴肅”數學之間的聯絡：其中一位發明者是理查德·費曼，他後來成為本世紀最著名的理論物理學家之一。
在我開始寫專欄的時候，只有少數幾本關於趣味數學的書籍出版。《該型別的經典之作——W. W. 勞斯·鮑爾這位傑出的英國數學家於1892年撰寫的《數學娛樂和散文》，有一個由另一位傳奇人物，加拿大幾何學家 H.S.M. 考克斯特 更新的版本。多佛出版社出版了比利時數論學家莫里斯·克賴奇克的《La Mathématique des Jeux》（《數學娛樂》）的法文譯本。但除了一些其他的謎題集外，就差不多是這些了。從那時起，關於這個主題的書籍出現了顯著的爆炸式增長，其中許多是由傑出的數學家撰寫的。作者包括現在為《大眾科學》撰寫“數學娛樂”專欄的伊恩·斯圖爾特；普林斯頓大學的約翰·H·康威；卡爾加里大學的理查德·K·蓋伊；以及加州大學伯克利分校的埃爾溫·R·伯利坎普。關於趣味數學的文章也越來越頻繁地出現在數學期刊上。季刊《趣味數學雜誌》於1968年開始出版。娛樂數學和嚴肅數學之間的界限是模糊的。許多專業數學家認為他們的工作是一種遊戲形式，就像職業高爾夫球手或籃球明星一樣。一般來說，如果數學具有非數學家可以理解和欣賞的趣味性，則被認為是趣味數學。趣味數學包括具有優雅且有時令人驚訝的解決方案的初等問題。它還包括令人費解的悖論、巧妙的遊戲、令人眼花繚亂的魔術和拓撲奇觀，例如莫比烏斯帶和克萊因瓶。事實上，幾乎每個比微積分簡單的數學分支都有可以被認為是趣味數學的領域。（以下頁面顯示了一些有趣的例子。）
課堂上的井字棋
國家數學教師委員會出版的月刊《數學教師》經常刊登關於趣味主題的文章。然而，大多數教師仍然忽視這些材料。40年來，我一直盡力說服教育工作者，趣味數學應該納入標準課程。它應該定期引入，作為激發年輕學生對數學奇蹟興趣的一種方式。然而，到目前為止，這方面的進展一直非常緩慢。
我經常講一個我高中時期的故事，來說明這種困境。有一天在數學自習課上，在我完成常規作業後，我拿出一張新紙，試圖解決一個讓我著迷的問題：在井字棋遊戲中，先手玩家在給定正確策略的情況下是否總是能贏。當我的老師看到我在亂寫亂畫時，她從我手中奪走了紙，說：“加德納先生，當你在我的課堂上時，我希望你只做數學，而不是其他任何事情。”
井字棋問題將是一個極好的課堂練習。它是向學生介紹組合數學、博弈論、對稱性和機率的絕佳方式。此外，這個遊戲是每個學生經歷的一部分：誰小時候沒有玩過井字棋呢？然而，我認識的數學老師中，很少有人將此類遊戲納入他們的課程中。
根據數學教師委員會1997年的年鑑，數學教育的最新趨勢被稱為“新新數學”，以區別於幾十年前慘敗的“新數學”。最新的教學系統包括將班級分成小組，並指導小組透過合作推理解決問題。所謂的“互動學習”取代了講課。雖然新新數學有一些積極的方面，但令我震驚的是，年鑑中沒有提到趣味數學的價值，趣味數學非常適合合作解決問題。
讓我向老師們提出以下實驗。讓每組學生想出一個三位數的數字——我們稱之為ABC。然後讓學生在他們的計算器中輸入兩次數字序列，形成數字ABCABC。例如，如果學生想到數字237，他們會輸入數字237,237。告訴學生，你有超能力可以預測，如果他們將ABCABC除以13，將沒有餘數。這將證明是真的。現在讓他們將結果除以11。同樣，將沒有餘數。最後，讓他們除以7。瞧，原始數字ABC現在在計算器的讀數中。這個技巧的秘密很簡單：ABCABC = ABC ≤ 1,001 = ABC ≤ 7 ≤ 11 ≤ 13。（像每個其他整數一樣，1,001可以分解為一組唯一的質數。）我不知道有什麼比讓學生解釋為什麼這個技巧總是有效更好的數論和質數性質的介紹。
多連塊和彭羅斯瓷磚
在《大眾科學》專欄寫作的25年中，最大的樂趣之一是認識了這麼多真正的數學家。我本人只不過是一個熱愛數學並且可以滔滔不絕地談論數學的記者。我在大學裡沒有上過數學課程。隨著我學到的越來越多，我的專欄變得越來越複雜，但專欄受歡迎的關鍵是我能夠從世界上一些最優秀的數學家那裡套取到的引人入勝的材料。南加州大學的所羅門·W·戈隆是最早為專欄提供素材的人之一。在1957年5月刊中，我介紹了他對多連塊的研究，多連塊是透過沿邊緣連線相同的正方形形成的形狀。由兩個這樣的正方形建立的骨牌——只能採取一種形狀，但三連塊、四連塊和五連塊可以呈現多種形式：L形、T形、正方形等等。戈隆的早期問題之一是確定指定的整套多連塊是否能緊密地組合在一起，覆蓋棋盤而不遺漏任何正方形。對多連塊的研究很快發展成為趣味數學的一個蓬勃發展的分支。科幻小說作家阿瑟·C·克拉克承認，自從他開始玩弄這些看似簡單的圖形後，他就成了“五連塊上癮者”。
戈隆也引起了我對一類他稱之為“鋪砌形”的圖形的關注——相同的多邊形可以組合在一起形成更大的自身複製品。其中之一是斯芬克斯，一種不規則的五邊形，其形狀有點類似於古埃及紀念碑的形狀。當四個相同的斯芬克斯以正確的方式連線在一起時，它們會形成一個更大的斯芬克斯，其形狀與其組成部分相同。鋪砌形的模式可以無限擴充套件：它們透過製作越來越大的複製品來鋪砌平面。已故的皮特·海恩，丹麥著名的發明家和詩人，透過他對“數學遊戲”的貢獻成為了我的好朋友。在1957年7月刊中，我寫了一篇關於他發明的一種拓撲遊戲，名為六貫棋，該遊戲在一個由六邊形制成的菱形棋盤上進行。玩家將他們的標記放在六邊形上，並嘗試成為第一個完成從棋盤一側到另一側的連續鏈條的人。這個遊戲經常被稱為約翰，因為它可以在浴室地板的六邊形瓷磚上玩。
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海恩還發明瞭索瑪立方體，這是幾個專欄的主題（1958年9月、1969年7月和1972年9月）。索瑪立方體由七個不同的多立方體組成，多立方體是多連塊的三維類似物。它們是透過在面部連線相同的立方體而建立的。多立方體可以組合在一起形成索瑪立方體——至少有240種方式——以及一系列索瑪形狀：金字塔、浴缸、狗等等。
1970年，數學家約翰·康威——世界上公認的天才之一——來看我，問我是否有古代東方圍棋遊戲的棋盤。我有。然後康威演示了他現在著名的模擬遊戲，名為生命遊戲。他將幾個計數器放在棋盤的網格上，然後根據三個簡單的規則移除或新增新的計數器：每個具有兩個或三個相鄰計數器的計數器可以保留；每個具有一個或零個鄰居或四個或更多鄰居的計數器被移除；並且在每個正好與三個計數器相鄰的空位上新增一個新的計數器。透過反覆應用這些規則，可以建立各種各樣的形式，包括一些像昆蟲一樣在棋盤上移動的形式。我在1970年10月刊的專欄中描述了生命遊戲，它立即在計算機愛好者中風靡一時。在隨後的幾周裡，商業公司和研究實驗室幾乎都關閉了，因為生命遊戲愛好者在他們的計算機螢幕上試驗生命遊戲的形式。
康威後來與數學家同事理查德·蓋伊和埃爾溫·伯利坎普合作完成了我認為本世紀趣味數學的最大貢獻，這是一部名為《制勝之道》（1982年）的兩卷本著作。其數百顆寶石之一是一個名為 Phutball 的雙人遊戲，也可以在圍棋棋盤上玩。Phutball 位於棋盤的中心，玩家輪流將計數器放在網格線的交點上。玩家可以透過將 Phutball 跳過計數器來移動它，計數器在被跨越之後將從棋盤上移除。遊戲的目的是透過在棋盤上建立計數器鏈條，使 Phutball 越過對方一側的球門線。使該遊戲與眾不同的是，與跳棋、象棋、圍棋或六貫棋不同，Phutball 沒有為每一方分配不同的遊戲棋子：玩家使用相同的計數器來構建他們的鏈條。因此，一個 Phutball 玩家的任何舉動也可以由他的對手做出。
為該專欄貢獻想法的其他數學家包括弗蘭克·哈拉里，他現在在新墨西哥州立大學任職，
他推廣了井字棋遊戲。在哈拉里在1979年4月刊中提出的遊戲版本中，目標不是形成一條直線的 X 或 O；相反，玩家試圖成為第一個將他們的 X 或 O 排列成指定的多連塊，例如 L 形或正方形。麻省理工學院的羅納德·L·李維斯特允許我在1977年8月刊的專欄中首次揭示他共同發明的“公鑰”密碼系統。它是革新密碼學領域的一系列密碼中的第一個。我也很高興展示了馬 Maurits C. 埃舍爾的數學藝術，它出現在1961年4月刊《大眾科學》的封面上，以及羅傑·彭羅斯發現的非週期性平鋪，羅傑·彭羅斯是因其在相對論和黑洞方面的工作而聞名的英國數學物理學家。
彭羅斯瓷磚是一個極好的例子，說明僅僅為了樂趣而做出的發現如何轉化為意想不到的實際用途。彭羅斯設計了兩種形狀，“風箏”和“飛鏢”，它們僅以非週期性的方式覆蓋平面：模式的基本部分不會重複自身。我在1977年1月刊中解釋了這一發現的重要性，該刊的封面上刊登了彭羅斯瓷磚的圖案。幾年後，彭羅斯平鋪的三維形式成為構建以前未知的分子結構型別（稱為準晶體）的基礎。從那時起，物理學家撰寫了數百篇關於準晶體及其獨特的熱學和振動特性的研究論文。雖然彭羅斯的想法最初只是一種趣味性的追求，但它為一個全新的固態物理學分支鋪平了道路。
達芬奇的沖水馬桶
收到最多讀者來信的兩個專欄是我的愚人節專欄和關於紐科姆悖論的專欄。惡作劇專欄出現在1975年4月刊中，旨在報道科學和數學領域的重大突破。驚人的發現包括對相對論的駁斥，以及達芬奇發明了沖水馬桶的披露。該專欄還宣佈，將兵卒移到王翼兵前4格的開局國際象棋走法是必勝的，並且 e 的 π 次方 ≤ √163 完全等於整數 262,537,412,640,768,744。令我驚訝的是，成千上萬的讀者未能認出該專欄是一個玩笑。隨文附上的是一張複雜的地圖，我說這張地圖需要五種顏色才能確保沒有兩個相鄰區域被塗成相同的顏色。數百名讀者寄給我了只用四種顏色著色的地圖副本，從而捍衛了四色定理。許多讀者說這項任務花了幾天時間。
紐科姆悖論以物理學家威廉·A·紐科姆的名字命名，他提出了這個想法，但它首先由哈佛大學哲學家羅伯特·諾齊克在一篇技術論文中描述。該悖論涉及兩個封閉的盒子，A 盒和 B 盒。A 盒包含 1,000 美元。B 盒要麼什麼都沒有，要麼包含 100 萬美元。您有兩個選擇：只拿 B 盒或兩個盒子都拿。兩個都拿顯然似乎是更好的選擇，但有一個陷阱：一個超能力存在——如果您願意，可以稱之為上帝——擁有預先知道您將如何選擇的能力。如果他預測您會出於貪婪而兩個盒子都拿，他會使 B 盒空著，而您只會得到 A 盒中的 1,000 美元。但如果他預測您只會拿 B 盒，他會將 100 萬美元放入其中。您已經觀看過其他人玩過很多次這個遊戲，並且在每種情況下，當玩家選擇兩個盒子時，他或她都發現 B 盒是空的。並且每次玩家只選擇 B 盒時，他或她都成為了百萬富翁。
您應該如何選擇？務實的論點是，由於您目睹了之前的遊戲，您可以假設超能力存在確實有能力做出準確的預測。因此，您應該只拿 B 盒以保證您將獲得 100 萬美元。但是等等！超能力存在在您玩遊戲之前做出他的預測，並且沒有能力改變它。在您做出選擇的那一刻，B 盒要麼是空的，要麼包含 100 萬美元。如果它是空的，如果您只選擇 B 盒，您將一無所獲。但如果您選擇兩個盒子，至少您會得到 A 盒中的 1,000 美元。如果 B 盒包含 100 萬美元，您將獲得 100 萬美元加上另外一千美元。那麼，選擇兩個盒子怎麼會虧呢？
每個論點似乎都無懈可擊。然而，兩者不可能都是最佳策略。諾齊克得出結論，這個悖論屬於一個名為決策論的數學分支，仍然沒有解決。我個人的觀點是，這個悖論透過導致邏輯矛盾，證明了超能力存在預測決策能力的不可能性。我在1973年7月刊的專欄中寫了關於這個悖論的文章，之後收到了很多來信，我將它們裝在一個紙箱裡，親自送給了諾齊克。他在1974年3月刊的客座專欄中分析了這些信件。
幻方長期以來一直是趣味數學中受歡迎的一部分。使這些正方形神奇的是它們內部數字的排列：每列、行和對角線中的數字加起來都等於相同的和。幻方中的數字通常要求是不同的，並且按順序排列，從一開始。僅存在一個3階幻方，它將從一到九的數字排列在一個三乘三的網格中。（透過旋轉或反射正方形所做的變體被認為是微不足道的。）相比之下，有 880 個 4 階幻方，並且對於更高的階數，排列的數量迅速增加。令人驚訝的是，幻六邊形的情況並非如此。1963年，我在郵件中收到了一個由克利福德·W·亞當斯（一位雷丁鐵路的退休辦事員）設計的3階幻六邊形。我將幻六邊形寄給了洛杉磯城市學院的數學家查爾斯·W·特里格，他證明了這個優雅的圖案是唯一可能的3階幻六邊形——並且任何其他尺寸的幻六邊形都不可能存在！
如果幻方中的數字不需要按順序排列怎麼辦？如果唯一的要求是數字是不同的，則可以構造各種各樣的3階幻方。例如，存在無限多個包含不同質數的此類正方形。可以用九個不同的平方數製作一個3階幻方嗎？兩年前，在《量子》雜誌的一篇文章中，我為這樣一個圖案提供了 100 美元。到目前為止，還沒有人拿出“平方的平方”——但也沒有人證明其不可能。如果它存在，它的數字將是巨大的，可能超出當今最快的超級計算機的範圍。這樣的幻方可能沒有任何實際用途。那麼為什麼數學家要試圖找到它呢？因為它可能在那裡。
神奇的矩陣博士
在我擔任《大眾科學》的任期內，我每年或每兩年都會用一個專欄來刊登對一位我稱之為歐文·約書亞·矩陣博士（請注意他的名字、中間名和姓氏的字母數提供的“666”）的數字命理學家的虛構採訪。這位優秀的博士將闡述數字的不尋常特性和文字遊戲的奇異形式。許多讀者認為矩陣博士和他美麗的日裔女兒伊娃·壽代裡是真實存在的。我記得收到一位困惑的日本讀者的來信，他告訴我壽代裡在日本是一個非常奇怪的姓氏。我從東京的一張地圖上取的。我的線人說，在日語中，這個詞的意思是“老頭街”。
我遺憾的是，我從未向矩陣博士詢問他對荒謬的1997年暢銷書《聖經密碼》的看法，該書聲稱在舊約聖經的希伯來字母排列中發現了對未來的預測。這本書採用了一種密碼系統，會讓矩陣博士感到自豪。透過有選擇地將此係統應用於某些文字塊，好奇的讀者不僅可以在舊約聖經中找到隱藏的預測，還可以在新約聖經、《古蘭經》、《華爾街日報》——甚至在《聖經密碼》本身的頁面中找到隱藏的預測。
我最後一次收到矩陣博士的訊息時，他在香港，調查π在著名小說作品中的意外出現。例如，他引用了H. G. 威爾斯的《世界大戰》第二卷第九章中的以下句子片段：“有一段時間我站在注視著……”這些單詞中的字母給出了π到六位數字！
上述四個加德納謎題的答案:
1. 大多數人猜測機率已從 1/3 上升到 1/2。畢竟，只有兩張牌面朝下，其中一張必須是 A。實際上，機率仍然是 1/3。您沒有選到 A 的機率仍然是 2/3，但瓊斯透過展示兩張未選牌中的一張不是 A，消除了部分不確定性。因此，另一張未選牌是 A 的機率為 2/3。如果瓊斯給您選擇將您的賭注更改為那張牌，您應該接受它（除非他當然是在袖子裡藏牌）。
我在1959年10月刊的專欄中以略有不同的形式介紹了這個問題——這個問題不是涉及三張牌，而是涉及三名囚犯，其中一名囚犯已被州長赦免。1990年，瑪麗蓮·沃斯·薩文特，《Parade》雜誌上一個受歡迎的專欄的作者，提出了同一問題的另一個版本，涉及三扇門和一輛藏在其中一扇門後的汽車。她給出了正確的答案，但收到了數千封憤怒的信——其中許多來自數學家——指責她不懂機率論！這場爭吵在《紐約時報》上引發了頭版報道。
2. 總和是 111。這個技巧總是有效，因為數字矩陣只不過是一個老式的加法表（下）。該表由兩組數字生成：（3、1、5、2、4、0）和（25、31、13、1、7、19）。矩陣中的每個數字都是兩組數字中一對數字的總和。當您選擇六個圈出的數字時，您選擇的六對數字共同包括所有 12 個生成數字。因此，圈出的數字之和始終等於 12 個生成數字之和。這些特殊的幻方是我1957年1月刊專欄的主題。
3. 每個單詞鏈都以“上帝”結尾。這個答案似乎是天意，但它實際上是克魯斯卡爾計數的結果，這是數學家馬丁·克魯斯卡爾在 1970 年代首次注意到的數學原理。當文字中的單詞總數明顯大於最長單詞中的字母數時，任何兩個任意開始的單詞鏈都可能在關鍵字處相交。在那一點之後，當然，鏈條變得相同。隨著文字的長度增加，相交的可能性也會增加。我在1978年2月刊的專欄中討論了克魯斯卡爾的原理。數學家約翰·艾倫·保羅斯在他的即將出版的書籍《數字童話》中將該原理應用於單詞鏈。
4. 為了簡單起見，想象一副只有 10 張牌的牌，黑牌和紅牌交替排列，如下所示：黑紅黑紅黑紅黑紅黑紅。將這副牌切成兩半將產生兩副五張牌的牌：黑紅黑紅黑和紅黑紅黑紅。在洗牌開始時，一副牌的底牌是黑色，另一副牌的底牌是紅色。如果紅牌先落在桌子上，那麼兩副牌的底牌都將是黑色，因此下一張落下的牌將在桌子上建立一對黑紅牌。如果黑牌先落下，那麼兩副牌的底牌都將是紅色，因此下一張落下的牌將建立一對紅黑牌。在前兩張牌落下後——無論它們來自哪副牌——情況將與最初情況相同：牌堆的底牌將是不同的顏色。然後過程重複，即使有些牌粘在一起，也保證每對連續的牌中都有一張黑牌和一張紅牌（下）。
這種現象被稱為吉爾佈雷斯原理，以其發現者，加利福尼亞魔術師諾曼·吉爾佈雷斯的名字命名。我第一次在1960年8月刊的專欄中解釋了它，並在1972年7月再次討論了它。魔術師們發明了100多個基於此原理及其推廣的紙牌魔術。—M.G.