娛樂計數意想不到的危險

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

我見過的最巧妙的紙牌魔術不是由魔術師表演的，而是一位數學教授表演的。

一位助教（我們稱他為尼克），充當魔術師的助手，招募了五名學生參與者。每個學生從一副 52 張的紙牌中選一張，然後面朝上但湯姆教授看不到地交還給尼克。尼克將這四張牌放在湯姆面前。令我們驚訝的是，湯姆立即認出了缺少的第五張牌。

教授在課結束時揭示了訣竅。但是當我興奮地回到宿舍時，我的室友本傑明拒絕讓我解釋它；他必須自己弄清楚。他喃喃自語地走回自己的房間，幸福地沒有意識到在 24 小時內，這個謎題將證明對他的尊嚴是災難性的。

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紙牌魔術通常依賴於欺騙或手法，但這一個完全是關於數學的。理論上，這是大學水平的數學，但它歸結為我們所有人五歲時都學到的東西：計數。

雖然這個魔術旨在突出魔術師，但稍微數一下就會發現助手才是真正的明星。畢竟，尼克不僅僅是一個紙牌管家，而是一個合作者：他可以選擇四張牌的順序，向湯姆傳達資訊。不僅如此，他還可以選擇展示五張牌中的哪四張。因此，讓我們計算一下可能性：有五種方法可以選擇一張秘密卡；然後，他展示的第一張牌有四個剩餘的選擇，下一張牌有三個選擇，依此類推。這給了尼克任何五張牌的 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 種選擇。

因此，艱苦的工作在於尼克，他必須戰略性地選擇這 120 個選項之一；湯姆只需解釋他所展示的內容。這種協作安排比讀心術容易得多，但說起來容易做起來難。根據“簿記員規則”（計數原則都有很好的名字），有 260 萬種可能的五張牌組合。不知何故，尼克必須能夠瞥一眼這些牌中的任何一張，並挑選四張牌向湯姆傳送一條編碼資訊，告訴他第五張牌的花色和點數。尼克如何讓紙牌說話？

在看過魔術後的晚上，我和一個同學在做我們的計數作業（是的，真的），這時本傑明出現在廚房裡。他用他標誌性的動畫風格，喋喋不休地說他已經弄清楚尼克可以選擇展示哪些牌，甚至為尼克設計了一個與湯姆交流的系統。“但我還沒有完全弄清楚——我還有一個資訊無法弄清楚如何編碼！”

當我們交談時，本傑明靠在牆上，牆上有一個大的方形垃圾桶。他逐漸沿著牆下滑，直到他放在背後的雙手抓住垃圾桶的邊緣。

本傑明弄清楚的是一個核心的計數原則，稱為鴿籠原理。（告訴過你它們的名字很好聽。）想象一個有九個鴿籠的鴿舍。如果有十隻鴿子試圖在裡面休息，那麼至少有一個籠子裡有不止一隻鴿子是數學上的必然。

雖然看似顯而易見，但鴿籠原理導致許多非顯而易見的結論。例如，我們知道有四種花色的紙牌。不可避免的是，當湯姆的觀眾抽出五張牌時，其中兩張必須是同一花色。

應用於撲克牌花色的鴿籠原理：花色是鴿籠，紙牌是鴿子。只有四種花色，因此即使四張牌的花色不同，第五張牌也必須與其中一張花色相同。

這表明尼克可以輕鬆地傳達隱藏牌的花色。假設五張牌包括 J♡ 和 K♡。尼克可以將 J♡ 作為隱藏牌，並將 K♡ 作為四張牌程式碼中的第一張，告訴湯姆秘密牌也是紅桃。

但仍然缺少一個關鍵部分。一旦尼克拿出第一張牌，他就只剩下三張牌了。有六種排列三張牌的方法——但湯姆必須在花色中的所有十三張牌之間做出選擇。根據相同的鴿籠原理，六種紙牌排列方式無法唯一地編碼十三種可能性；某些排列方式必須是模稜兩可的！如何將點數也塞入展示的紙牌中？

本傑明已經弄清楚了這一切。他甚至有一個基於計數的證明，證明尼克可以將他的資訊有效載荷增加一倍：由於至少有兩張牌花色相同，尼克可以選擇展示哪一張。這給了他兩倍的選擇，對於第一張牌的每種可能選擇，有六個選擇。

但這仍然只有尼克可以傳送的十二條可能的訊息。但實際上，十二個剛剛好——尼克選擇的花色中的一張牌將在湯姆面前面朝上！這讓湯姆的猜測只有十二種可能性。尼克擁有足夠的資訊攜帶能力。

但是在這裡，本傑明卡住了。說必須能夠傳達必要的資訊是一回事；做到這一點是另一回事。本傑明只是無法弄清楚如何將這些見解轉化為實際程式碼。

為了使這項工作起作用，我們需要一個圓圈——特別是這一個

這個圓圈的有趣之處在於，尼克始終可以確保隱藏的牌與第一張顯示的牌最多相差順時針六步。假設牌組由下面顯示的五張牌組成（J♡、Q♧、9♢、Q♤ 和 K♡）。尼克必須選擇先顯示 J♡ 或 K♡。如果他選擇 K♡，那麼 J♡ 在圓上順時針跳躍 11 步。但是，如果他顯示 J♡，那麼只需兩步即可到達 K♡！透過戰略性的選擇，尼克可以給魔術師一個起始點，使真實值僅在順時針方向的幾步之內。

五張牌的示例。助手應該向魔術師展示前四張，告訴他最後一張是 K♡。© Chris Aguilar，LGPL 3.0。

剩下的就是讓尼克告訴湯姆 1 到 6 之間的跳躍次數。他們透過預先商定牌組中所有紙牌的順序來實現這一點。一種明智的選擇是借鑑橋牌，其中花色按梅花、方塊、紅桃和黑桃（從低到高）排序，並且同一花色中的點數按二到 A 的順序排序。在我們的示例中，9♢ 將“大於”Q♧，但小於 Q♤。使用此順序，尼克和湯姆建立了一個程式碼，將紙牌序列轉換為數字：小/中/大表示 1，小/大/中表示 2，依此類推。

接下來是用於將紙牌序列轉換為圓上步數的完整表格。請訪問此互動式頁面，嘗試親自解碼助手的訊息。

在我們的示例中，尼克將向魔術師展示上面顯示的前四張牌（J♡、Q♧、Q♤ 和 9♢）。第一張牌告訴湯姆秘密花色是紅桃。因為剩餘的紙牌按小/大/中的順序排列，所以他知道秘密值是 J♡ 順時針方向的兩步。僅憑這四張牌，湯姆就可以正確猜出 K♡。

可悲的是，本傑明從未達到圓圈魔術的程度。當他懸在垃圾桶上方時，他突然受到啟發，然後大喊一聲“哦！”並舉起了雙臂。

他忽略考慮的是，他所有的重量都壓在了那雙胳膊上。瞬間，他的身體塌陷到垃圾桶裡，胳膊和腿像倒立的烏龜一樣搖擺。他來回搖晃，但無濟於事：他被困住了。

當然，我的第一反應是歇斯底里地大笑並拍了一張照片。

我趕緊衝過去想幫他一把，但我喘得太厲害了，結果只是把自己弄得摔倒在地，在地上打滾大笑。最後，我那個不那麼沒用的作業夥伴出手了。她把那可憐的人類烏龜翻了過來，並把罐子從本傑明的屁股上拔了下來，讓他得以溜走舔舐傷口。

在數學中，計數能讓你走得相當遠。你只需要它就可以弄清楚倫敦是否有兩個人頭上的頭髮數量相同（確實有），或者在撲克牌中拿到葫蘆的機率。並且冒著聽起來像伯爵的風險，這種計數不僅可以提供資訊，而且令人愉快（啊-哈-哈-哈！）。

自從我上完那門課後，講師們顯然已經從講座中刪除了這個演示。毫無疑問，他們聽說了他們的數學遊戲給大學其他地方帶來的危險。我想你必須小心計數。如果你不小心，它真的會咬你的屁股。