本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
幾代人以來，幾何學家已經習慣於無法看到他們所證明的定理的物件。這對於一個從歐幾里得時代開始，以點、線、三角形、圓、圓錐曲線等絕妙的視覺概念為基礎的學科來說，是一個有些令人悲傷的發展。但與此同時，這似乎是進步的必要代價。即使在古希臘，人們也清楚地認識到，圖片可能會欺騙你，而抽象的論證（歐幾里得的“定理-證明”方法）是避免犯錯的最佳方法。此外，在19世紀和20世紀，幾何學家們轉向研究更復雜的物件：多維的曲面和空間，這些曲面和空間在我們相當有限的三維宇宙中永遠無法完全視覺化。
然而，在21世紀，像哥倫比亞大學的基南·克萊恩這樣的數學計算機科學家正在為我們可以實際看到的曲面和曲線的研究注入新的活力。克萊恩被選為海德堡獲獎者論壇的200名年輕參與者之一，他致力於微分幾何中物件的計算機視覺化。他的工作使他穩居這兩個領域的交匯點。“我的背景實際上是計算機科學和計算機圖形學，但當我嘗試解決這些圖形問題時，我越來越意識到我愛上了幾何，”他說。
看看克萊恩的圖片，很容易理解為什麼。他目前的一個專案涉及透過共形對映來變形曲面。例如，假設你想把一隻兔子變形為一個球體，如上面的動畫所示。現實世界的物體總是會有一些表面顏色或紋理，並且從美學角度來看，最令人愉悅和最具說服力的“變形”是那些不會過多扭曲這些圖案的變形。這意味著在表面的任何小塊區域中，形狀都會被保留。眼睛看起來仍然像眼睛，文字仍然清晰可辨，即使表面朝著它的新形狀流動。這種保持形狀的變換被稱為共形。
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共形對映在數學和計算機視覺化方面都有非常傑出的譜系。19世紀數學的一個里程碑式定理，黎曼的均勻化定理，保證了任何“拓撲”上是一個球體的曲面——換句話說，它沒有邊界，也沒有把手——都可以共形地對映到一個球體。這個證明是用經典的數學風格完成的，即使對於數學研究生來說也是非常抽象和具有挑戰性的。當我是研究生時，我的每個同學在準備資格考試時都仔細研究了這個證明。這是一種成人禮——我們被期望在考試中知道的最難的事情。（我不確定是否有人被問到關於均勻化定理的問題。很可能教師知道這個儀式，因此問我們其他的事情。）
克萊恩的演算法本質上是對黎曼定理的視覺化說明，它非常簡單。無論你從什麼樣的兔子形狀開始——它甚至可以是一頭牛或一隻章魚——他的演算法都會找到一種方法將其共形地變形為球體，而且速度很快。速度不是來自程式設計技巧。它來自數學原理。克萊恩找到了一種描述曲面的新方法，不是根據曲面上點的物理位置，而是根據它們的曲率。變形過程減少了曲率的威爾莫爾能量。更通俗地說，它儘可能有效地熨平任何皺紋。
雖然看到一頭牛或一隻兔子變成一個球體很酷，但是當您將共形流應用於帶有孔或把手的曲面時，事情會變得更加有趣。第二組圖片說明了數學中的一個標準笑話：“拓撲學家無法分辨咖啡杯和甜甜圈。”當咖啡杯變形為甜甜圈時，由於流的共形（保持形狀）特性，寫在其表面的數學方程式仍然高度清晰。
與球體不同，甜甜圈有許多不同的共形型別。19世紀的數學家發現了一種對它們進行分類的方法，這種方法很優美但高度抽象。（它被稱為復結構，所以這已經讓你有了一個概念……）它對於在給定的共形類中，最圓、最無皺紋的甜甜圈應該是什麼樣子，幾乎沒有提供視覺直觀。但是，透過使用他的共形流，克萊恩正在發現復結構和威爾莫爾能量最小化甜甜圈的外觀之間的聯絡。“隨著復結構變得更加扭曲，環面也變得更加扭曲，”他說。
你可能會說這並不令人驚訝，甚至可能是顯而易見的。但是這是像黎曼這樣的19世紀數學家永遠無法證明，甚至無法猜測的事情，因為他們看不到他們正在處理的東西。這是“矽時代”如何使新的數學成為可能的又一個例子。
即使您不理解它們的數學含義，克萊恩的視覺化效果也只是純粹地賞心悅目。例如，看第三張圖片。它顯示了在保持其纏繞數的同時變形曲線的想法。您可以想象在您沿著曲線行駛時隨身攜帶一個指南針，並詢問當您完成一個完整的迴圈時，指標旋轉了多少次。如果您在左側繞著複雜的鴨子形曲線行駛，則很難說。但是對於右側的8字形，這很容易。如果您從中間開始，指標會旋轉一部分，然後備份到它開始的位置。淨纏繞數為零。由於8字形曲線是由鴨子曲線的平滑變形產生的，因此鴨子曲線的纏繞數也必須為零。
克萊恩說他沒有計劃在海德堡獲獎者論壇上與特定的人見面或交談；他只是期待結識“很多有趣的人”。儘管如此，他還是希望有機會與參加會議的獲獎者之一斯里尼瓦薩·瓦拉丹見面。“我一直在做一個使用經典的瓦拉丹公式來計算測地距離的專案，事實上，我下個月將與夢工廠的一些人談論此事，”克萊恩說。[夢工廠是出品《功夫熊貓》的電影工作室。]“我想告訴瓦拉丹我正在使用他的成果來做一些有用和實際的事情。看到一個想法從數學一路發展到你在電影螢幕上可以看到的東西很有趣。”
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這篇部落格文章源於第一屆海德堡獲獎者論壇 (HLF) 的官方部落格，該論壇於 2013 年 9 月 22 日至 27 日在德國海德堡舉行。40 位阿貝爾獎、菲爾茲獎和圖靈獎得主將齊聚一堂，與 200 位精選的年輕研究人員會面。達娜·麥肯齊 是 HLF 部落格團隊的成員。請在HLF 部落格上查詢他的所有帖子。