本文發表在《大眾科學》的前部落格網路中，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
當我來到海德堡桂冠論壇時，我期待的是一場精神盛宴。我沒想到會是一場視覺盛宴！看看戴安娜·戴維斯（Diana Davis）製作的這段精彩影片，該影片在菲爾茲獎得主柯蒂斯·麥克馬倫（Curtis McMullen）今天的講座中播放。
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戴維斯目前在布朗大學工作，她將這段影片提交給一個名為“用舞蹈講述你的博士論文”的比賽，並在物理類別中獲得了一等獎。（是的，為了本次比賽，數學是物理學的一個子領域。）她不僅製作了一個有趣（且幽默！）的影片，而且僅用幾句話就解釋了她論文中一個定理的所有主要要素。事實上，我會說透過舞蹈比透過正常的數學語言更容易理解這個定理！
請您來判斷。問題是要預測檯球桌上一個正五邊形的檯球會發生什麼。特別是，您想知道如何擊球，使其在經過一定次數的彈跳後返回到原來的位置。戴維斯的定理給出了這種擊球動力學的完整描述。
她首先將檯球桌透過放在一側的鏡子進行反射，從而建立一個非凸八邊形。這樣做的好處是，檯球永遠不會彈跳——它只是沿直線前進，直接穿過鏡子所在的邊。
但是當球到達一個非映象側時會發生什麼呢？嗯，它會做吃豆人的事情——它會從平行的一側重新出現。這對非數學家（或非吃豆人玩家）來說是一個完全讓人撓頭的問題，但在戴維斯的影片中得到了精美的展示。戴維斯然後考慮球依次穿過的邊，並得到一個顏色或字母序列，A、B、C、D、E。那麼問題就變成了：哪些序列是可能的？她展示了一個簡單但很酷的簡化演算法，其中涉及透過剪下變換扭曲表格，將其切開，然後再次粘合在一起，以獲得更簡單的序列。透過這種方式，她表明，您可以將任何合法的彈跳序列簡化為僅具有兩種交替顏色或字母的重複序列：A、B、A、B、...
她的影片以“Q.E.D.”結尾，我認為在這裡的意思是“Quod Erat Dance-andum”。（這就是要跳的舞。）
麥克馬倫的演講以優美的方式解釋了這個問題如何與黎曼曲面理論中的一個問題相關。在我上一篇關於基南·克萊恩的工作的文章中，我提到環面（或甜甜圈）有不同的共形類，這些共形類由環面上稱為復結構的東西描述。我沒有告訴你的是，你可以對有兩個或三個孔的環面做同樣的事情。（後者不是甜甜圈，而是椒鹽捲餅——這是一個特別恰當的話題，因為我在德國的酒店每天早上都會提供椒鹽捲餅作為早餐！）
所有可能的椒鹽捲餅形狀是什麼？嗯，有無限多種。但它們中的許多是共形等價的。事實上，伯恩哈德·黎曼在 19 世紀證明，所有椒鹽捲餅的共形類的集合是 6 維的。這意味著只需要 6 個引數就可以描述任何椒鹽捲餅的形狀，直到共形等價。這些引數本身形成一個複雜的 6 維表面，稱為泰希米勒空間，數學家們想了解它的結構。
麥克馬倫展示*了泰希米勒空間包含某些特殊的椒鹽捲餅族，它們形成了這個 6 維空間的一個 1 維子集。您可以將它們想象成地球儀上的子午線。這些特殊的椒鹽捲餅是透過將多邊形的邊緣粘合在一起獲得的，就像戴維斯的舞蹈是在一個邊緣以特定方式粘合在一起的八邊形上進行的。在這些特殊的多邊形中，每個檯球軌跡要麼是完全週期性的（如戴維斯研究的軌道），要麼是完全混亂的。因此，戴維斯的定理與理解“所有椒鹽捲餅的空間”這一 150 年前的問題相關（儘管我不會說它完全解決了這個問題）！
聽麥克馬倫的講座就像過了 30 年之後，我突然開竅一樣。我第一次聽說泰希米勒空間是在我讀研究生的時候，當時我的大腦就停止了運轉。它們太抽象了，我無法理解。如果我早就知道可以透過追蹤一個正多邊形上臺球的路徑來解釋它們，生活會變得多麼輕鬆！不幸的是，當時並不瞭解檯球的聯絡——自 1989 年以來，透過 W.A.維奇的工作才意識到這一點。（有關更多資訊，請參見此維基百科條目。）
透過維奇和戴維斯的工作以及麥克馬倫的講座，我第一次感到自己好像理解了泰希米勒空間的一些東西，這真是令人興奮！
* 附註：對於那些不記得麥克馬倫談論椒鹽捲餅的與會者，這是正確的。他實際上談論的是兩個孔環面或“屬二黎曼曲面”的泰希米勒空間。但是，我認為如果他談論三個孔的環面（椒鹽捲餅）會更有趣，因為我們在椒鹽捲餅的發源地德國！
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這篇博文來自第一屆海德堡桂冠論壇 (HLF) 的官方部落格，該論壇於 2013 年 9 月 22 日至 27 日在德國海德堡舉行。40 位阿貝爾獎、菲爾茲獎和圖靈獎得主將齊聚一堂，與 200 名精選的青年研究人員會面。達娜·麥肯齊是 HLF 部落格團隊的成員。請在HLF 部落格上找到他的所有帖子。