本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定代表《大眾科學》的觀點
這是柯蒂斯·麥克馬倫在昨天由瑞安·格雷迪組織的量子力學和拓撲學研討會上表演的一個驚人戲法。麥克馬倫謙虛地拒絕拍照，所以這裡由格雷迪演示了這個戲法。
步驟 1：如圖所示，將繩子穿過一個登山扣並握住兩端。
步驟 2：將第二個登山扣扣在繩子的兩端，注意不要扭曲它們。如果操作正確，頂部的登山扣應與底部的登山扣成 90 度角。
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請注意，此時，登山扣和繩子都連線在一起。您無法將它們分開。如果您在爬山，您可以安全地懸掛在較低的登山扣上，不會發生任何不好的事情。
步驟 3：現在將兩個登山扣扣在一起。
準備扣合...
扣合完成！
現在您的連結應該比以前安全兩倍，對嗎？好吧，讓我們看看...
步驟 4：拉繩子
哇！那些登山扣去哪裡了？
繩子不再與登山扣相連。因此，它們已經完全脫落並掉到地上。
警告：爬山時不要嘗試這個！或者，如果您願意，您可以嘗試對你不喜歡的人這樣做。為了達到最佳效果，當他們扣入登山扣時，您應該抓住繩子。
數學解釋：將繩子視為穿過兩個登山扣“補集”的環。換句話說，它存在於登山扣不存在的宇宙部分。
首先要意識到的是，如果繩子可以從登山扣上拉出，那就意味著它在拓撲學上是“平凡的”。它可以縮小到一個點，而不會纏繞在登山扣上。
拓撲學家使用稱為基本群的工具來衡量平凡性。基本上，這個群由兩個字母 A 和 B 組成的“詞”組成。A 表示“順時針穿過第一個登山扣”，B 表示“順時針穿過第二個登山扣”。如果您仔細觀察，在步驟 2 中，繩子順時針穿過登山扣 1 (A)，然後順時針穿過登山扣 2 (B)，然後逆時針穿過登山扣 1 (A')，然後逆時針穿過登山扣 2 (B')。所以這個環對應於“詞”ABA'B'。
另請注意，圍繞登山扣順時針一次和逆時針一次的繩子不會與該登山扣連結。這意味著 AA' = 1（平凡環）和 BB' = 1（平凡環）。
但這裡很酷！當登山扣未連結時，字母的順序不能顛倒。也就是說，AB 與 BA 不同。所以 ABA'B' 是一個非平凡的詞。這是數學上說，繩子在步驟 2 之後不能從登山扣上拉出的方式。
但是，當您將兩個登山扣連結起來時，它會改變“宇宙減去登山扣”的整個拓撲結構。（這不是很酷嗎？當瑞安將它們連線在一起時，他意識到整個宇宙都在他周圍發生變化了嗎？）現在，兩個字母 A 和 B可以顛倒，或者 AB = BA。但隨後 ABA'B' = BAA'B'（透過顛倒 A 和 B）= B1B'（因為 AA' = 1）= BB' = 1（因為 BB' = 1）。所以 ABA'B' 現在是平凡的詞。
結論：繩子可以從登山扣上拉出！透過這種方式，透過進行純數學計算，我們可以預測繩索戲法的結果。
在數學術語中，“宇宙減去未連結登山扣”的基本群是非阿貝爾的，這意味著乘法的順序很重要。“宇宙減去連結登山扣”的基本群是阿貝爾的，這意味著乘法的順序不重要。“阿貝爾”這個詞來源於尼爾斯·亨利克·阿貝爾的名字，阿貝爾獎就是以他的名字命名的。阿貝爾獎是受邀參加海德堡桂冠論壇的四項著名獎項之一，我本週在那裡遇到了瑞安·格雷迪和柯蒂斯·麥克馬倫。令人毛骨悚然，不是嗎？
無論如何，我喜歡這個戲法，因為它是我見過的最具體地演示阿貝爾群和非阿貝爾群之間差異的例子。如果我仍然是大學老師，我會在每次教授抽象代數課程時都使用這個例子。
非常感謝柯蒂斯·麥克馬倫演示這個戲法，並感謝瑞安·格雷迪為相機表演了這個戲法。順便說一句，麥克馬倫說他沒有發明這個戲法；他是從戴爾·羅爾夫森的書中得到的。
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這篇博文源自第一屆海德堡桂冠論壇（HLF）的官方部落格，該論壇於 2013 年 9 月 22 日至 27 日在德國海德堡舉行。40 位阿貝爾獎、菲爾茲獎和圖靈獎得主將聚集一堂，與 200 名精選的青年研究人員會面。達娜·麥肯齊是 HLF 部落格團隊的成員。請在HLF 部落格上找到他所有的帖子。